先に数Ⅱ 図形と方程式 【円に関する極と極線】を確認することを強く推奨します。

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点\mathRM{A}(4,\ 3)から楕円\ \bunsuu{x^2}{4}+y^2=1\ に引いた2本の接線の接点をそれぞれ\mathRM{P,\ Q}$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} \ \ \,\,$とするとき,\ 直線\mathRM{PQ}の方程式lを求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $直線l上にあり,\ 楕円の外部にある点\mathRM{B}から楕円に引いた2本の接線の接点を通$ \\[.2zh] \hspace{.5zw} \ \ \,\,$る直線が,\ 点\mathRM{A}(4,\ 3)を通ることを示せ.$ \\  $接点\mathRM{P,\ Q}における接線の方程式は \textcolor{cyan}{\bunsuu{p_1}{4}x+p_2y=1,\ \ \bunsuu{q_1}{4}x+q_2y=1}$ \\[.5zh] 真面目に接点の座標から直線を求めようとすると地獄絵図になる. \\[.2zh] 何よりも本質的ではないので,\ 必ずこのうまい解法をパターンとして覚えておいてほしい. \\[1zh] まず,\ 接点の座標を文字で設定し,\ 接線の方程式を作成する. \\[.2zh] 楕円\ \bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ の点(x_0,\ y_0)における接線の方程式は \bunsuu{x_0x}{a^2}+\bunsuu{y_0y}{b^2}=1 \\[.8zh] これが点\mathRM{A}を通る条件を考えればよい. \\[.2zh] p_1+3p_2=1,\ q_1+3q_2=1\ は,\ \bm{x+3y=1に(p_1,\ p_2),\ (q_1,\ q_2)を代入したもの}とみなせる. \\[.2zh] 図形的には,\ 直線x+3y=1上に点\mathRM{P}(p_1,\ p_2),\ \mathRM{Q}(q_1,\ q_2)があることを意味する. \\[.2zh] 逆に,\ 点\mathRM{PQ}を通る直線がx+3y=1といえるわけである. \\[1zh] 本問の構図において,\ \bm{\textcolor{blue}{点\mathRM{A}を楕円の極,\ 直線\mathRM{PQ}を楕円の極線}}という. \\[1zh] 一般化すると,\ 楕円\ \bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ の極(x_0,\ y_0)における極線は \bunsuu{x_0x}{a^2}+\bunsuu{y_0y}{b^2}=1 \\[.8zh] これは楕円の接線の式と完全に一致する. \\[.2zh] \bm{直線\ \bunsuu{x_0x}{a^2}+\bunsuu{y_0y}{b^2}=1\ は,\ 点(x_0,\ y_0)が楕円上にあれば接線,\ 楕円外にあれば極線}を表す. \\[1.5zh] 極と極線の話はここで終わらず,\ (2)に続く. \\[.2zh] \bm{\mathRM{極Aの極線が点Bを通るとき,\ 極Bの極線が点Aを通る}}ことの証明である. \\[.2zh] まず,\ 極\mathRM{B}が極\mathRM{A}の極線である直線\mathRM{PQ}上にある条件が\maru1となる. \\[.2zh] さらに,\ (1)と全く同様にして点\mathRM{B}の極線\maru2が得られる. \\[.2zh] ここで,\ 試しに点\mathRM{B}の極線\maru2に点\mathRM{A}の座標を代入してみると\maru3が得られる. \\[.2zh] \maru1が成り立っているのであるから,\ 当然\maru3も成り立つ. \\[.2zh] 図形的には,\ 点\mathRM{B}の極線\maru2上に点\mathRM{A}があることを意味する. \\[1zh] ややこしく感じるが,\ 根幹は次の同値関係であり,\ これを図形的に見ると上図になる.\ \\[.5zh]   \bm{b_1+3b_2=1\ \ \Longleftrightarrow\ \ 極\mathRM{A}の極線x+3y=1上に極\mathRM{B}(b_1,\ b_2)がある} \\[.3zh]   \bm{\phantom{b_1+3b_2=1}\ \ \Longleftrightarrow\ \ 極\mathRM{B}の極線\ \bunsuu{b_1}{4}x+b_2y=1\,上に極\mathRM{A}(4,\ 3)がある} \\\\ 以上の議論は\bm{\textcolor{blue}{双曲線や放物線においても成立}}する.\ その手順も楕円の場合と全く同じである.