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楕円\ \bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ (a0,\ b0)の第1象限の点\mathRM{P}における接線がx軸,\ y軸と交$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$わる点を\mathRM{A,\ B}とするとき,\ x軸,\ y軸,\ 線分\mathRM{AB}が作る三角形の面積の最小値とその$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$ときの点\mathRM{P}の座標を求めよ.$ \\ 楕円の接線と座標軸が作る三角形の面積の最小}}}} \\\\[.5zh]   $点\mathRM{P}の座標を\textcolor{red}{(p,\ q)\ (p0,\ q0)}とすると,\ \textcolor{cyan}{\bunsuu{p^2}{a^2}+\bunsuu{q^2}{b^2}=1}\ \cdots\cdots\maru1\ が成立する.$ \\[.5zh]   $点\mathRM{P}における接線の方程式は \textcolor{cyan}{\bunsuu{p}{a^2}x+\bunsuu{q}{b^2}y=1}$ \\[.5zh]   $よって \textcolor[named]{ForestGreen}{\mathRM{A}\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{a^2}{p},\ 0\right),\ \ \mathRM{B}\hspace{-.2zw}\left(0,\ \bunsuu{b^2}{q}\right)}$ \\\\\\   $\triangle\mathRM{OAB}=\bunsuu12\cdot\bunsuu{a^2}{p}\cdot\bunsuu{b^2}{q}=\bunsuu{a^2b^2}{2}\cdot\bunsuu{1}{pq}$ \\[1zh]   $\bunsuu{p^2}{a^2}0,\ \bunsuu{q^2}{b^2}0\ より,\ \maru1に\ \textcolor{blue}{(相加平均)\geqq(相乗平均)}\ を適用すると$ \\[.5zh]     $\textcolor{red}{\bunsuu{p^2}{a^2}+\bunsuu{q^2}{b^2}\geqq2\ruizyoukon{\bunsuu{p^2}{a^2}\cdot\bunsuu{q^2}{b^2}}} より \textcolor{cyan}{1}\geqq\bunsuu{2pq}{ab}    よって \textcolor{red}{\bunsuu{1}{pq}\geqq\bunsuu{2}{ab}}$ \\[1zh]   $ゆえに \triangle\mathRM{OAB}=\bunsuu{a^2b^2}{2}\cdot\textcolor{red}{\bunsuu{1}{pq}\geqq}\ \bunsuu{a^2b^2}{2}\cdot\textcolor{red}{\bunsuu{2}{ab}}=ab$ \\[1zh]   $等号は\ \bunsuu{p^2}{a^2}=\bunsuu{q^2}{b^2}\ かつ\maru1のとき,\ つまり\ \textcolor{red}{p=\bunsuu{a}{\ruizyoukon2},\ \ q=\bunsuu{b}{\ruizyoukon2}}\ のとき成立する.$ \\\\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{\mathRM{P}\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{a}{\ruizyoukon2},\ \bunsuu{b}{\ruizyoukon2}\right)\ のとき 最小値\ ab}$} \\\\\\ 単純に接点を文字でおいて接線の式を作成後交点と面積を求める. \\[.2zh] このとき,\ 点(p,\ q)が楕円上にある条件\maru1が成立することを忘れない. \\[.2zh] 楕円\ \bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ 上の点(x_0,\ y_0)における接線の方程式は\ \bunsuu{x_0x}{a^2}+\bunsuu{y_0y}{b^2}=1\ である. \\[1zh] すると,\ \bm{条件\maru1のもとでpqの最大値を求める}ことに帰着する(\bm{面積最小=分母のpq最大}). \\[.2zh] つまり,\ 条件つき2変数関数の最大問題である. \\[.2zh] 一般に,\ 次の状況で\bm{相加平均と相乗平均の関係A+B\geqq2\ruizyoukon{AB}\ (A0,\ B0)が有効}である. \\[.2zh] \bm{「和が一定のもとで積の最大を求める(本問)」「積が一定のもとで和の最小を求める」} \\[.2zh] 本問では,\ A=\bunsuu{p^2}{a^2},\ B=\bunsuu{q^2}{b^2}\ として適用すると,\ pqの最大\left(=\bunsuu{1}{pq}\,の最小\right)が求まる. \\[1zh] 同時に面積の最小も求まるが,\ これで安心してはいけない.\ \bm{等号成立条件を確認}する必要がある. \\[.2zh] \geqq ab\ はab以上を意味するだけで,\ 最小値がabまでは意味しないからである. \\[.2zh] 等号が成立するようなp,\ q\ (p0,\ q0)\ が存在して初めて最小値がabと断定できる. \\[.2zh] 相加平均と相乗平均の関係の等号成立条件は\ \bm{A=B}\ である. \\[.2zh] \maru1と連立してp,\ qを求める.\ \ a,\ b,\ p,\ qはすべて正なので,\ \bunsuu{p^2}{a^2}=\bunsuu{q^2}{b^2}\ \Longleftrightarrow\ \bunsuu pa=\bunsuu qb\ である. \\[.8zh] q=\bunsuu bap\ として\maru1に代入すると \bunsuu{2p^2}{a^2}=1   よって\ \ p^2=\bunsuu{a^2}{2}\ \ より\ \ p=\bunsuu{a}{楕円の媒介変数表示を利用}}] \\[.5zh]   $点\mathRM{P}の座標は\textcolor{red}{(a\cos\theta,\ b\sin\theta)\ \left(0\theta\bunsuu{\pi}{2}\right)}とおける.$ \\[.5zh]   $点\mathRM{P}における接線の方程式は \textcolor{cyan}{\bunsuu{\cos\theta}{a}x+\bunsuu{\sin\theta}{b}y=1}$ \\[.5zh]   $よって \textcolor[named]{ForestGreen}{\mathRM{A}\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{a}{\cos\theta},\ 0\right), \mathRM{B}\hspace{-.2zw}\left(0,\ \bunsuu{b}{\sin\theta}\right)}$ \\\\[1zh]   $\triangle\mathRM{OAB}=\bunsuu12\cdot\bunsuu{a}{\cos\theta}\cdot\bunsuu{b}{\sin\theta}=\textcolor{red}{\bunsuu{ab}{\sin2\theta}}$ \\[.5zh]   $02\theta\pi\ より,\ \sin2\theta\ は\ 2\theta=\bunsuu{\pi}{2}\ のとき,\ つまり\textcolor{red}{\theta=\bunsuu{\pi}{4}\ のとき最大値1}をとる.$ \\\\[.5zh] \centerline{$\therefore \bm{\mathRM{P}}\textcolor{red}{\left(a\cos\bunsuu{\pi}{4},\ b\sin\bunsuu{\pi}{4}\right)}=\bm{\left(\bunsuu{a}{\ruizyoukon2},\ \bunsuu{b}{\ruizyoukon2}\right)}\ のとき \bm{最小値\ ab}$} \\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 楕円上の点に着目して議論する場合,\ 楕円の媒介変数表示も有効である. \\[.2zh] 楕円の式\ \bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ と三角関数の相互関係\ \cos^2\theta+\sin^2\theta=1\ を見比べる. \\[1zh] \bunsuu xa=\cos\theta,\ \bunsuu yb=\sin\theta\ より,\ \bm{楕円の媒介変数表示\ (x,\ y)=(a\cos\theta,\ b\sin\theta)}\ が導かれる. \\[.8zh] 媒介変数表示により,\ 面積が\bm{\theta\,の1変数関数に帰着}する. \\[.2zh] 2倍角の公式\ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\ を逆に用いることで変数\,\theta\,を1箇所に集められる. \\[.2zh] 後は分母\sin2\theta\,の最大を考えればよい. 無理矢理1文字消去}}($pqを求める部分のみ,\ 他は本解と同様$)] \\[1zh]   $\bunsuu{p^2}{a^2}+\bunsuu{q^2}{b^2}=1 より q^2=b^2\left(1-\bunsuu{p^2}{a^2}\right)=\bunsuu{b^2}{a^2}(a^2-p^2)$ \\[1zh]   $pq=\bunsuu ba\cdot \textcolor{cyan}{p\ruizyoukon{a^2-p^2}}=\bunsuu ba\textcolor{cyan}{\ruizyoukon{-\,p^4+a^2p^2}}=\textcolor{red}{\bunsuu ba\ruizyoukon{-\left(p^2-\bunsuu{a^2}{2}\right)^2+\bunsuu{a^4}{4}}}$ \\\\[1zh]   $\textcolor[named]{ForestGreen}{0\leqq p^2\leqq a^2}\ より,\ pqは\ \textcolor{red}{p^2=\bunsuu{a^2}{2}}\ のとき\textcolor{red}{最大値\ \bunsuu ba\ruizyoukon{\bunsuu{a^4}{4}}=\bunsuu{ab}{2}}\ をとる.$ \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 条件つき多変数関数の最大・最小問題では,\ 1文字消去も重要である. \\[.2zh] 多少ゴリ押しになるとしても,\ 1変数関数に帰着させてしまえば理系なら数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の微分も利用できる. \\[.2zh] 後の計算も考慮して\ \bunsuu{1}{a^2}\,もくくり出しておくと,\ \bm{p\ruizyoukon{a^2-p^2}\ の最大を求める}ことに帰着する. \\[.5zh] 微分するまでもなく,\ \bm{pを根号の中に入れるとp^2\,の2次関数になるから平方完成すれば済む.} \\[.2zh] 0\leqq p\leqq aであることにも注意して,\ pqの最大値が求まる.