当ページは、y軸周りの回転体の体積 を学習済みであることを前提としています。

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曲線$y=x^2\ (0\leqq x\leqq2)$を$y$軸の周りに回転させてできる容器に毎秒$\pi$\,cm$^3$の割合で \\[.2zh] \hspace{.5zw}水を注ぐ.\ 長さの単位はcmとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 4秒後の水深を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 4秒後の水面が上昇する速度を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 4秒後の水面の面積の増加速度を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 容器の底にある排水口を開けると,\ 水深が$h$のときに毎秒$\ruizyoukon h$\,cm$^3$の割合で \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (4)}\ \ 排水される.\ 満水の容器が空になるまでの時間$T$を求めよ. \\
(1)\ \ 水深が$h$\,cmのときの水の体積を$V$\,cm$^3$とする. \4秒後の水量は\pi$の両辺を時間$t$で微分すると水深が$h$\,cmのときの水面の面積を$S$\,cm$^2$とする.排水速度は\
水の問題は扱いがやや独特なので,\ 一度は経験しておかなければ対応が困難である. \\[.2zh] \bm{水深・面積・体積がいずれも時間の関数}であることがポイントになる. \\[1zh] (1)\ \ 水の体積は1秒当たり\pi\,\text{cm}^3\,増加するから,\ 4秒後には4\pi\,\text{cm}^3\,となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ 水深がhのときの体積を求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y軸周りの回転体の体積公式は\ V=\pi\dint{a}{b}x^2\,dy\ である. \\\\
(2)\ \ 水の問題では,\ とにかく\bm{与えられた条件と求めるべき量を数式で表す}ことが重要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 物理量は,\ \bm{時間で微分すると速度}になる.\ よって,\ 与えられた条件は\ \bunsuu{dV}{dt}=\pi\ と表せる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 求めるべき水面が上昇する速度は,\ \bunsuu{dh}{dt}\ と表せる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{\bunsuu{dV}{dt}\,から\,\bunsuu{dh}{dt}\,を求めたいので,\ Vとhの関係を式にすればよい}とわかる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ これは(1)ですでに求めており,\ \bm{両辺を時間微分}することで\,\bunsuu{dV}{dt}\,と\,\bunsuu{dh}{dt}\,が現れる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 右辺の\,f(h)=\bunsuu{h^2}{2}\pi\,は見かけ上hの関数なので,\ \bm{合成関数の微分法}の扱いになる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ \bunsuu{df(h)}{dt}=\bunsuu{df(h)}{dh}\cdot\bunsuu{dh}{dt}\ のように,\ 一旦hで微分した後でつじつまを合わせることになる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ 既知の\,\bunsuu{dV}{dt}\,やhを代入すると\,\bunsuu{dh}{dt}\,が求まる. \\\\
(3)\ \ \bunsuu{dV}{dt},\ \bunsuu{dh}{dt}\,が既知で,\ 求めたいのは\,\bunsuu{dS}{dt}\,である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ VとSの関係またはhとSの関係を式にすればよいことがわかる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 普通に考えて,\ hとSの関係を式にするほうが楽である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 水深がhのときの水面の半径は\,\ruizyoukon h\,であるから,\ 水面の面積は\,\pi\cdot(\ruizyoukon h\,)^2=\pi h\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ 両辺を時間微分すればよい. \\[1zh] (4)\ \ 排水すると水の体積は減少するから,\ その速度は-\ruizyoukon h\,となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ Vとhの関係は変わらないので,\ \bunsuu{dV}{dt}=\pi h\bunsuu{dh}{dt}\ の関係も変わらない. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 排水速度\,\bunsuu{dV}{dt}=-\ruizyoukon h\,を代入すると,\ \bm{変数分離形の微分方程式}に帰着する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ dt=-\,\pi\ruizyoukon h\,dh\ のようにしてtとhを分離し,\ 両辺を積分する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 初期条件h=4のときt=0も考慮すると,\ tとhのの関係式が得られる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ h=0のときのtが,\ 容器が空になるまでの時間Tである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ tが0→Tのときhは4→0なので,\ 最初から\ \dint{0}{T}\,dt=-\,\pi\dint{4}{0}\ruizyoukon h\,dh\ としてもよい.