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単純には「積分したモノを微分すると元に戻る」といえるが,\ 実際にはそこまで単純ではない. \\[.2zh] 次の証明をしっかりと理解しておく必要がある.\ 証明といっても普通に計算するだけである. \\[1zh] f(t)の原始関数の1つをF(t)とする. \\[1zh] aは定数なので,\ \bunsuu{d}{dx}F(a)=0\ である. \\[.8zh] F(g(x))は,\ F(x)のxをg(x)で置き換えた\bm{合成関数}である. \\[.2zh] 例えば,\ F(x)=\sin x,\ g(x)=x^2\ のとき,\ F(g(x))=F(x^2)=\sin x^2\ である. \\[.2zh] これを微分するとき,\ (\sin x^2)’=\cos x^2\cdot(x^2)’\ のようにg(x)の微分を掛ける必要があった. \\[.2zh] つまり,\ \bunsuu{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x)\ となるわけである. \\[.2zh] (1)\ \ 定数aからxまでの定積分の微分なので,\ 単純にtをxに変えれば済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ もし\ f(x)=\dint{x}{1}t\sin^2t\,dt\ だったならば,\ f'(x)=-\,x\sin^2x\ となる. (2)\ \ x^2を代入したモノから3xを代入したモノを引けばよい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ ただし,\ それぞれ微分を掛けるのを忘れてはならない.