(2)の解答がI(p+1,q-1)となっていますが、B(p+1,q-1)の誤りですm(_ _)m

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実数p>0,\ q>0に対し,\ B(p,\ q)=\dint{0}{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx\ とおく.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $B(p,\ q)=B(q,\ p)$を示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $B(p,\ q)=\bunsuu{q-1}{p}B(p+1,\ q-1)\ \ (q>1)\ を示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $自然数m,\ nに対し,\ B(m,\ n)=\bunsuu{(m-1)\kaizyou(n-1)\kaizyou}{(m+n-1)\kaizyou}\ を示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $自然数m,\ nに対し,\ I=\dint{\alpha}{\beta}(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\,dx\ を求めよ.$ \\ B(q,\ p)=\dint{0}{1}x^{q-1}(1-x)^{p-1}\,dx=\dint{0}{1}(1-x)^{p-1}x^{q-1}\,dx\ をB(p,\ q)の式と見比べる. \\[.8zh] すると,\ \bm{1-x=t\,と置換}すればよいことがわかる.\ 積分変数は自由に変更できる. x^{p-1}\,を微分形とみて部分積分する (2)を順次適用していくと,\ mが大きくなる代わりにnが小さくなる. \\[.2zh] このように,\ 一方が1になりさえすれば,\ 後は普通に積分計算すればよいわけである. \\[.2zh] (m,\ n),\ (m+1,\ n-1),\ \cdots\cdots\,の各組の和は常にm+nなので,\ 最後は(m+n-1,\ 1)である. \\[.2zh] 分子について,\ 分母について,\ 具体例 ちなみに,\ ガンマ関数\ (3)を利用するため,\ \bm{積分区間を[0\,→\,1]に変換}することを目指し,\ このような置換を行う. \\[.2zh] まずt=x-\alpha\ (-\,\alpha\,平行移動)とすると,\ [\alpha\,→\,\beta]\,が[0\,→\,\beta-\alpha]\,になる. \\[.2zh] さらに,\ t=\bunsuu{x-\alpha}{\beta-\alpha}\ \left(\bunsuu{1}{\beta-\alpha}\,に圧縮\right)とすると,\ [0\,→\,1]となるわけである. \\[.7zh] これを代入して定数部分を前に出すと(3)に帰着させることができる. \\[1zh] 本問の特殊な場合がいわゆる\,\bunsuu16,\ \bunsuu{1}{12},\ \bunsuu{1}{30}\ 公式である.