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次分数関数を$\bm{n}$回合成した関数$\bm{f_n(x)} このように同じ関数が繰り返されるから,\ 一般に$\textcolor{red}{f_{n+3}(x)=f_n(x)}$が成り立つ. \\\\\\
\ kを自然数とすると
まず,\ 一般の1次分数関数についてのf_n(x)を高校範囲で求めるのは困難である. \\[.2zh] よって,\ 出題されるのは,\ \bm{具体的に求めていくと容易に規則性が見つかる関数}である. \\[.2zh] このとき,\ f_3(x)=f_2(f_2(x)),\ f_4(x)=f_3(f_3(x)),\ \cdots\cdots\ と間違えやすいので注意してほしい. \\[.2zh] 正しくは,\ f_3(x)=f_1(f_2(x)),\ f_4(x)=f_1(f_3(x)),\ \cdots\cdots\ である. \\[.2zh] f_1(x)からf_2(x),\ f_2(x)からf_3(x)と求まっていくが,\ f_4(x)=f_1(x)となるから以降は循環する. \\[.2zh] このように答えてもよいが,\ 解答では自然数kを用いて表しておいた. \\[.2zh] k=1,\ 2,\ \cdots\ より,\ n=3k+1,\ n=3k+2とするとn=1,\ 2のときが含まれなくなるので注意. \\[.2zh] kを0以上の整数として,\ n=3k+1,\ n=3k+2,\ n=3k+3としてもよい.
想できるので,\ 数学的帰納法で証明する. \\\\\\
\phantom{ (1)}\ \ [1]\ \ $\textcolor{Purple}{n=1}$のとき $f_1(x)=f(x)=\bunsuu{x}{2x+1}$であるから成立する. \\\\
\phantom{ (1)}\ \ [2]\ \ $\textcolor{Purple}{n=k}$のとき $\textcolor{red}{f_k(x)=\bunsuu{x}{2kx+1}}$であることを仮定する. であることを証明する.$n=k+1$のときも成り立つ. [1],\ [2]より,\ すべての自然数$n$について
f_3(x)あたりまで計算するとf_n(x)が予想できるが,\ 予想はあくまで予想なので証明する必要がある. \\[.2zh] すべての自然数nについて成り立つことを示すためには,\ 当然\bm{数学的帰納法}が有効である. \\[.2zh] n=1のときを示し,\ n=kのときを仮定し,\ その仮定を用いてn=k+1のときを示すのであった. \\[.2zh] 下線部は,\ 絶対に必要というわけではないが記述しておくことが推奨される. \\[.2zh] 最終目標がわかりやすくなり,\ さらには示せなかったとしても部分点の対称になりうる. \\[.2zh] f_1(x)からf_2(x)を求めたのと同様にして,\ 仮定f_k(x)からf_{k+1}(x)を求めることができる.