ハイレベルなので難関大学受験生が対象である。

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関数f(x)は常にf”(x)<0を満たす.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ $任意の実数a,\ b,\ t\ (00\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n),\ a_1+a_2+\cdots+a_n=1\ であるとする.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}  $任意のn個の実数x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n\,に対して,\ 次の不等式が成立することを示せ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ $x_1>0,\ x_2>0,\ \cdots,\ x_n>0\ とするとき,\ 次の不等式が成立することを示せ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}    $\bunsuu{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geqq\ruizyoukon[n]{x_1x_2\cdots x_n}$ \\    $ゆえに,\ 増減表は次のようになるから,\ F(a)\geqq0\ が成立する.$ \\\\ 不等式の証明なので差が0以上であることを示せばよいが,\ \bm{aを変数とみる}ことがポイントである. \\[.2zh] bでもほとんど同じである.\ tを変数とみて示すことも可能だが,\ 思いの外大変である. \\[1zh] F(a)をaで微分する. \\[.2zh] \{f(ta+(1-t)b)\}’=f'(ta+(1-t)b)\cdot\{ta+(1-t)b\}’=f'(ta+(1-t)b)\cdot t (合成関数の微分) \\[.2zh] t>0より,\ \bm{F'(a)の符号はf'(ta+(1-t)b)-f'(a)\,の符号に依存}する. \\[.2zh] この符号変化はさらに微分してもわからず,\ f'(x)が単調減少であることを利用する必要がある. \\[.2zh] f'(x)が単調減少であることは,\ xが増加するにつれてf'(x)が減少することを意味している. \\[.2zh] つまり,\ \bm{f'(ta+(1-t)b)とf'(a)の大小関係は,\ ta+(1-t)bとaの大小関係と逆}になる. \\[.2zh] ta+(1-t)b>a\ とすると\ (1-t)b>(1-t)a  よって1-t>0より b>a \\[.2zh] このとき,\ f'(ta+(1-t)b)0,\ q>0,\ p+q=1}を満たすとき \bm{f(pq+qb)\geqq pf(a)+qf(b)} \\[.2zh] p>0,\ q>0,\ p+q=1\ より,\ 00,\ a_1’+a_2’+\cdots+a_n’=1\ となり,\ 適用条件を満たしている. \\[1zh] 以上を理解できていれば,\ 後は前問と同じである. \\[.2zh] f(pa+qb)\geqq pf(a)+q(b)\,で2個のf(x)に分割した後,\ 仮定でk個のf(x)に分割する. \\[1zh] さて,\ 本問の不等式は(2)をさらに拡張したものである. \\[.2zh] この不等式を\bm{イェンゼンの不等式}という. \\[.2zh] 相加相乗,\ コーシー・シュワルツ,\ ヘルダーなど様々な不等式の元になる重要な不等式である.    $(2)より \textcolor{red}{\log\bunsuu{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geqq\bunsuu{\log x_1+\log x_2+\cdots+\log x_n}{n}}$ \\[.5zh]    $よって \ \log\bunsuu{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geqq\bunsuu1n\log x_1x_2\cdots x_n$ \\\\ \centerline{$\therefore \bm{\bunsuu{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geqq\ruizyoukon[n]{x_1x_2\cdots x_n}}$} \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} イェンゼンの不等式からn変数の相加平均と相乗平均の関係が導かれる. \\[.2zh] 念のため,\ 適用条件f”(x)<0を確認してから不等式を適用した. 不等式\ f(ta+(1-t)b)\geqq tf(a)+(1-t)f(b)\ \ (00\ (x>p)\ がわかる. \\[.2zh]   これを元に増減表を作成すると,\ \bm{F(x)はx=p\,で極小値0をとる}から,\ F(x)\geqq0\ がいえる. \\[1zh] (2)\ \ 両辺を足し合わせた後,\ a_1+a_2+\cdots+a_n=1\ を適用する. \\[.2zh]   これは,\ 下図において接点のx座標をa_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_nとしたことを意味している.  $\bm{\textcolor{blue}{不等式\ f(x)\leqq f'(p)(x-p)+f(p)\ の図形的意味}}$ \\[1zh]   $関数f(x)上の点(p,\ f(p))における接線の方程式は \textcolor{cyan}{y=f'(p)(x-p)+f(p)}$ \\[.5zh]   $f(x)が上に凸であるとき,\ \textcolor{magenta}{f(x)は常に接線の下側にある}から$ \\[.5zh]   $この不等式は,\ \textbf{\textcolor{blue}{「上に凸」の別表現}}となっている.