1995kyoto

何と言っても「あなたの得点とする」という問題文が秀逸である。しかし、この問題が伝説になったゆえんは何も問題文だけにあるわけではく、衝撃的なからくりを秘めていることにもある。それは問題を解いていく中で自然と明らかになっていく。以下に解答の概要を示した。

1995kyoto2

 
(1)は整数分野の頻出問題の1つで、「pを素数、nを整数とするとき、npをpで割った余りは、nをpで割った余りと等しくなる」というフェルマーの小定理を背景としており、余りで分類して倍数であることを証明することになる。ただし、7で割った余りともなると合同式を使わないと記述が面倒である。

さて、誰もが気になる(2)である。一見すると「誰でも少しは点もらえるじゃん」と思うが、実際にやってみると上のようになる。n=5まで調べてあきらめた人がいたとしたら問題作成者の思うつぼである。「もしかするとすべて0になることを証明させる問題なのでは・・・」などと深読みをしてしまった学生もいたかも知れない。

ちなみに、ある程度整数問題に慣れた人ならf(n)は7で割った余りであるからf(n)の最大は6、よって最大18点もらえるのではないかということがすぐに予想できただろう。どちらにせよn=6まで調べなければならないのだが、n=6まででよいという先の見通しがあるかどうかの差は大きい。

結局、「6の倍数を代入したときのみ18点もらえ、それ以外の値を代入した場合は全て0点になる」ため、原理的に満点か0点しかありえない。この鳥肌ものの一題こそ、まごうことなき京大の伝説である。