seifu-jyouhou@2x

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この計算規則から,\ 3つ以上の数の乗法に関する次の法則も導かれる.
\textcolor{blue}{負の数}が\textcolor{cyan}{偶数個} → \textcolor{cyan}{+} \\[.2zh] \textcolor{blue}{負の数}が\textcolor{magenta}{奇数個}
かけ算のことを\bm{乗法}といい,\ その答えを\bm{積}という. \\[.2zh] 加法・減法に比べれば,\ 正負の数の乗法は非常に簡単である. \\[.2zh] \bm{同符号の積ならプラス,\ 異符号の積ならマイナスになる}というただそれだけである. \\[.2zh] (4)は負の数が2個(偶数個)なのでプラス,\ (5)は負の数が3個(奇数個)なのでマイナスになる. \\[1zh] 乗法においても加法と同じく交換法則や結合法則が成立する. \\[.2zh] \bm{乗法の交換法則 ○\times△=△\times○} \\[.2zh] \bm{乗法の結合法則 (○\times△)\times□=○\times(△\times□)}  (どの2数を先にかけてもよい) \\[.2zh] (5)ではキリのいい数を作り出すために2\times5を先に計算した. \\[.2zh] 特に,\ \bm{「(偶数)\times(5の倍数)を先に計算する」}は応用範囲が広く,\ この先ずっと役立つ工夫である. \\[.2zh] \rei\ \ 9\times5\times8\times2=(9\times8)\times(5\times2)=72\times10=720 \\[.2zh] 次のように,\ \bm{偶数を分解して先に10の倍数を作るように計算する}という応用もできる. \\[.2zh] \rei\ \ 12\times25=(6\times2)\times25=6\times(2\times25)=6\times50=300 \\[.2zh] 上では途中過程を丁寧に記述してみたが,\ 実際にはすぐに最終的な答えを書けばよい. \\[1zh] \bm{負の数をかけるときの括弧は省略できない.}\ つまり,\ 3\times-\,2のように書いてはならない. \\[.2zh] 必ず3\times(-\,2)と書く.\ ただし,\ (4)のように最初の負の数の括弧は省略できる. \\[1zh] なお,\ (-)\times(-)がなぜ(+)になるかを疑問にもつ中学生は多い. \\[.2zh] 立場上おおっぴらには言いにくいが,\ 中学生はそういうものだと無条件で納得するのがよい.

\bm{同じ数を何個かかけ合わせたもの}をその数の\bm{\textcolor{blue}{累乗}}という. \\[.2zh] また,\ そのかけ合わせた個数を\bm{\textcolor{blue}{指数}}といい,\ 数の右肩に小さく書く. \\[.2zh] 例えば,\ 5\times5=5^2,\ \ 5\times5\times5=5^3\ であり,\ それぞれ5の2乗,\ 5の3乗という. \\[.2zh] 特に,\ 2乗のことを\bm{平方}\,(へいほう),\ 3乗のことを\bm{立方}\,(りっぽう)ともいう. \\[1zh] 累乗の意味さえ理解していれば,\ 計算は正負の数の乗法と同じである. \\[.2zh] 上では途中過程を丁寧に記述してみたが,\ 実際にはすぐに最終的な答えを書けばよい. \\[1zh] (1)\ \ (-\,4)^2\ は-4を2個かけ合わせたものである.\ 負の数が2個(偶数個)なのでプラスとなる. \\[1zh] (2)\ \ (-\,4)^3\ は-4を3個かけ合わせたものである.\ 負の数が3個(奇数個)なのでマイナスとなる. \\[1zh] (3)\ \ -\,4^2\ は\bm{4の2乗にマイナスがついたもの}であり,\ (-\,4)^2\ (-\,4を2乗したもの)とは別である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 負の数が4個(偶数個)となるからプラスになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{累乗の部分は先に計算する}のが基本である.\ よって,\ 普通は別解のように計算する. \\[1zh] (4)\ \ 分数のかけ算は早いうちに約分することで計算が楽になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の場合,\ 2つ目の別解のような思考が推奨される. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に全体の累乗は各部分の累乗に分割できる.  \rei\ \ \left(\bunsuu25\right)^3=\bunsuu{2^3}{5^3} \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ なぜなら,\ {5\times5\times5}=\bunsuu{2^3}{5^3}\ のように変形できるからである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ よって \left(-\bunsuu12\right)^4=\bunsuu{1^4}{2^4}=\bunsuu{1}{2^4}\ \ (-\,が4個で\,+),\ \ \left(-\bunsuu23\right)^3=-\bunsuu{2^3}{3^3}\ \ (-\,が3個で\,-). \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{約分を想定してあえて累乗の形のままにしておく}のがポイントである.\ 計算の手間も省ける. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ すると,\ 2^4\,と2^3\,を簡単に約分することができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{2^4\,は2が4個,\ 2^3\,は2が3個であるから,\ 約分すると分母に2が1個残る}わけである.