mojisiki-syou-amari@2x

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$a>b$を満たす2つの整数$a$と$b$をそれぞれ3で割ったときの余りが等しいとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}$a-b$が3で割り切れることを示せ. 文字式の利用\maru3 商と余り}
{\large $整数Aを整数Bで割ったときの商をQ,\ 余りをRとすると$}      A=BQ+R}}
$p,\ qを整数,\ 等しい余りをrとすると
$p,\ qは整数なので,\ p-qも整数である.$ \\[.2zh] $よって,\ \textcolor{red}{3(p-q)は3の倍数}である.$ \\[.2zh] $したがって,\ \bm{a-bは3で割り切れる.
\bm{条件『ある数で割ったときの余り』を数式でどのように表現するか}を知っているかが問われる. \\[1zh] 例として,\ 「7を3で割ったときの商は2,\ 余りは1」を数式で表現することを考えよう. \\[.2zh] 7\div3=2\cdots1\ としたくなるかもしれない. \\[.2zh] しかし,\ \cdots\,は数学記号ではない.\ \cdots\,を用いずに表現する必要がある. \\[.2zh] ここで,\ 「7を3で割ったときの商は2,\ 余りは1」は次のように意味付けできる. \\[.2zh] 「\dot{7}\,個のリンゴを\,\dot{3}\,人に平等に分ける(割る)とき,\ 1人に\,\dot{2}\,個ずつ配分でき,\ \dot{1}\,個余る」 \\[.2zh] 図で表すと  ○○|○○|○○ 余り○ \\[.2zh] このことは,\ 「3人に1人2個ずつ与えて1個余るならば全部で7個」と言い換えられる. \\[.2zh] それを数式で表現すると\ \bm{7=3\times2+1}\ となる. \\[.2zh] こうして,\ 「7を3で割ったときの商は2,\ 余りは1」を\times と+のみで表すことができる. \\[.2zh] 文字で表現すると,\ \bm{『AをBで割ったときの商はQ,\ 余りはR』が『A=BQ+R』となる.} \\[.2zh] このとき,\ 余りRには範囲があることに注意しておく. \\[.2zh] 例えば,\ 3で割ったときの余りは必ず0か1か2である. \\[.2zh] 同様に,\ 4で割ったときの余りは必ず0か1か2か3である. \\[.2zh] つまり,\ \bm{Bで割ったときの余りRは0\leqq R\leqq B-1を満たす整数}である. \\[.2zh] なお,\ Q,\ Rは商(\text{quotient}),\ 余り(\text{remainder})の頭文字に由来する. \\[1zh] 以上を踏まえて本問を解く.\ まず,\ 問題の条件を数式で表現するわけだが,\ 商がわからない. \\[.2zh] そこで,\ 自分で文字を設定して表現する.\ a>bより,\ aとbは別の整数である. \\[.2zh] 別の整数ならば3で割ったときの商が等しいとは限らないため,\ 別の文字を設定する必要がある. \\[.2zh] ここでは,\ qとアルファベット順でqに近いpを用いた(rは余りとして用いたいので避けた). \\[.2zh] \bm{a-bが3で割り切れることは,\ a-bが3の倍数であることに等しい.} \\[.2zh] よって,\ 最終目標は\bm{a-bが3\times(整数)の形で表せることを示す}ことである. \\[.2zh] 最初の設定さえうまくできれば,\ 後の処理は容易である. \\[1zh] 特に,\ 次のような余りに関する条件でA=BQ+Rがよく利用される. \\[.2zh] \rei\ \ 奇数(2で割ったときの余りが1)  \ \ \ \,2n+1\ (nは整数) \\[.2zh] \rei\ \ 3で割ったときの余りが1となる数  3n+1\ (nは整数) \\[.2zh] \rei\ \ 3で割ったときの余りが2となる数  3n+2\ (nは整数) \\[1zh] 本問では3で割ったときの余りについて考えたが,\ 3以外の数で割った場合も同様である. \\[.2zh] つまり,\ \bm{2数a,\ bをある数で割ったときの余りが等しいとき,\ a-bはその数の倍数である.}