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3けたの整数について,\ 各位の数字の和が3の倍数ならば,\ その整数が3の倍数 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ となることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 3けたの整数について,\ 各位の数字の和が9の倍数ならば,\ その整数が9の倍数 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ となることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 4けたの整数について,\ 下2けたが4の倍数ならば,\ その整数が4の倍数となる \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ ことを示せ. 文字式の利用\maru2 倍数条件}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ 3けたの整数の百の位,\ 十の位,\ 一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このとき,\ 3けたの整数は$\textcolor{cyan}{100a+10b+c}$と表せる. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ 各位の数の和が3の倍数なので,\ $\textcolor{magenta}{a+b+c=3n\ (nは整数)}$と表せる. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{100a+10b+c}=\textcolor{red}{99a+a}+\textcolor{red}{9b+b}+c$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{100a+10b+c}=99a+9b+\textcolor{magenta}{a+b+c}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{100a+10b+c}=99a+9b+\textcolor{magenta}{3n}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{100a+10b+c}=\textcolor{red}{3(33a+3b+n)}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $a,\ b,\ n$は整数なので,\ $33a+3b+n$は整数である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ $\textcolor{red}{3(33a+3b+n)は3の倍数}$である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ したがって,\ $\bm{各位の数字の和が3の倍数である整数は,\ 3の倍数である.}$ \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
まず,\ 3けたの整数が100a+10b+cと表せることを覚えておく必要がある. \\[.2zh] 数と同じように各位がa,\ b,\ cだからといってabcとしてしまうと,\ a\times b\times cを意味してしまう. \\[.2zh] ここで,\ 例えば472は,\ 100を4個,\ 10を7個,\ 1を2個足し合わせたものと考えられる. \\[.2zh] つまり,\ 472=100\times 4+10\times7+1\times2\ と表せる. \\[.2zh] 同様にして,\ 3けたの整数は\ 100\times a+10\times b+1\times c=100a+10b+c\ と表せるわけである. \\[.2zh] 各位の数字の和が3の倍数という条件も数式で表せる.\ 「nは整数」と記述しておくことも忘れない. \\[1zh] 最終目標は,\ \bm{3けたの整数100a+10b+cが3\times(整数)の形で表せることを示す}ことである. \\[.2zh] 要するに3をくくり出せばよいわけである. \\[.2zh] しかし,\ 100や10は3の倍数ではないのでこのままでは3をくくり出すことはできない. \\[.2zh] \bm{100a=99a+a,\ 10a=9a+a}として,\ \bm{3でくくれる部分を無理矢理作り出す}. \\[.2zh] 残りのa+b+cは3nとできるので,\ これですべて3でくくることができる. \\[.2zh] 33a+3b+nが整数であることも忘れずに示す. \\[.2zh] 以上のような証明方法は一度は経験がないと難しいだろう. \\[1zh] 本問では3けたの整数について示したが,\ 全く同様の発想で何けたの整数でも示せる. \\[.2zh] また,\ \bm{本問の結果は記憶に値する.}\ 例えば,\ 次のような場合に役立つ. \\[.2zh] \bunsuu{819}{111}\ はこれ以上約分できるかどうか,\ できるとしたら何でできるかがすぐにはわからない. \\[.8zh] そこで,\ 819と111が3の倍数かどうかを調べてみる. \\[.2zh] 8+1+9=18\ (3の倍数),\ \ 1+1+1=3\ (3の倍数)より,\ 819と111は3の倍数である. \\[.2zh] よって,\ 3で約分できるとわかる.  \bunsuu{819}{111}=\bunsuu{273}{37}
3けたの整数の百の位,\ 十の位,\ 一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このとき,\ 3けたの整数は$\textcolor{cyan}{100a+10b+c}$と表せる. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ 各位の数の和が9の倍数なので,\ $\textcolor{magenta}{a+b+c=9n\ (nは整数)}$と表せる. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{100a+10b+c}=\textcolor{red}{99a+a}+\textcolor{red}{9b+b}+c$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{100a+10b+c}=99a+9b+\textcolor{magenta}{a+b+c}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{100a+10b+c}=99a+9b+\textcolor{magenta}{9n}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{100a+10b+c}=\textcolor{red}{9(11a+b+n)}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $a,\ b,\ n$は整数なので,\ $11a+b+n$は整数である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ $\textcolor{red}{9(11a+b+n)は9の倍数}$である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ したがって,\ $\bm{各位の数字の和が9の倍数である整数は,\ 9の倍数である.}$ \
3の倍数の場合と全く同じである.\ \bm{本問の結果も記憶に値する.} \\[.2zh] \bunsuu{756}{531}\ が3で約分できるかを確認するために各位の数字の和を求めよう. \\[.8zh] 7+5+6=18\ (9の倍数),\ 5+3+1=9\ (9の倍数)\ である. \\[.2zh] この時点で3の倍数というだけでなく,\ 9の倍数であることまでもが判明する. \\[.2zh] よって,\ 9で一気に約分できるとわかる.
(3)\ \ 4けたの整数の千の位,\ 百の位,\ 十の位,\ 一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このとき,\ 4けたの整数は$\textcolor{cyan}{1000a+100b+10c+d}$と表せる. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ 下2けたが4の倍数なので,\ $\textcolor{magenta}{10c+d=4n\ (nは整数)}$と表せる.
\phantom{ (1)}\ \ $a,\ b,\ n$は整数なので,\ $250a+25b+n$は整数である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ $\textcolor{red}{4(250a+25b+n)は4の倍数}$である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ したがって,\ $\bm{下2けたが4の倍数である整数は,\ 4の倍数である.}$ \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
4けたの整数1000a+100b+10c+dのうち,\ 下2けたは10c+dである. \\[.2zh] これを4nと表すと,\ 4をくくり出すことができる. \\[.2zh] 本問では4けたの整数について示したが,\ 100,\ 1000,\ 10000,\ \cdots\ はすべて4で割り切れる. \\[.2zh] よって,\ 何けたの整数であっても同様に示すことができる. \\[.2zh] つまり,\ 何けたの整数であっても,\ \bm{4の倍数かどうかは下2けたを見るだけで判断できる.} \\[1zh] \bm{本問の結果も記憶に値する.} \\[.2zh] 5982756\underline{84}\ において,\ 下2けたの84は4の倍数であるから598275684は4の倍数である.