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平方根}} 2乗(平方)すると$\bm{a}$になる数}}をの平方根}}という. \\[1zh] 正の数の平方根は2つある.}{4の平方根}(2乗で4になる数)は
負の数の平方根は存在しない. & \rei\ \ -3の平方根(2乗で-\,3になる数)は存在しない. \\[.2zh] 0の平方根は0
根号}}(こんごう)といいルート$\bm{a}$}}」と読む. \\[.2zh] $a$が正の数であるとき,\の正の平方根}}をの負の平方根}}を$\bm{\textcolor{red}{-\ruizyoukon a}}$と表す. \\[.5zh] \rei\ \ 4の正の平方根は$\ruizyoukon4=2$,\ \ 4の負の平方根は${平方根のおおよその値(近似値)
「面積が4である正方形の1辺の長さは?」と問われれば,\ 2\,(2乗して4になる数)と答えられる. \\[.2zh] しかし,\ 「面積が5である正方形の1辺の長さは?」と問われると答えることができない. \\[.2zh] 正方形は実際に存在しているのであるから,\ 1辺の長さが存在しないというのもおかしい. \\[.2zh] そこで,\ 2乗して5になる数を新たに作成する必要が生じる. \\[.2zh] このような数を5の平方根ということと,\ \ruizyoukon5\ と書くことに決めたわけである. \\[1zh] +\,2と-2はまとめて\pm\,2と表すことができる(\pm\,2は「プラスマイナス2」と読む). \\[1zh] \bm{「4の平方根」と「ルート4\,(\ruizyoukon4)」が同じであるという誤解が多い}ので注意が必要である. \\[.2zh] 4の平方根(2乗で4になる数)が,\ プラスルート4\,(+\ruizyoukon4)とマイナスルート4\,(-\ruizyoukon4)の二つである. \\[.2zh] そして,\ +\ruizyoukon4=+\,2,\ \ -\ruizyoukon4=-\,2\ である.\ つまり,\ \ruizyoukon4=2\ である. \\[.2zh] 「\ruizyoukon4」を「4の平方根」のことだと考え,\ \ruizyoukon4=\pm\,2としてしまうのが\bm{よくある誤り}である. \\[1zh] 近似値(きんじち)を,\ 「ほぼ等しい」ことを意味する記号「\kinzi」を用いて表したりする. \\[.2zh] \ruizyoukon{10}\,くらいまでの近似値は,\ 小数第2位くらいまでを常識として覚えておきたい. \\[.2zh] ただし,\ \ruizyoukon1,\ \ruizyoukon4,\ \ruizyoukon9\,はもちろん,\ \ruizyoukon8\,は覚える必要はない.\ \ruizyoukon8=2\times\ruizyoukon2\,だからである(後に学習). \\[1zh] 実際に\,\ruizyoukon2\,の近似値を求めてみよう.\ 2乗して2になる数が\,\ruizyoukon2\,である. \\[.2zh] これは,\ 2乗して1になる数1より大きく,\ 2乗して4になる数2より小さいはずである. \\[.2zh] このことを不等号で表現すると\ 1<\ruizyoukon2<2\ であるから,\ \ruizyoukon2\,が1.\cdots\cdots\,であることが確定する. \\[.2zh] 次に小数第1位を確定させるため,\ 1.○^2\,を順に計算していく. \\[.2zh] 1.1^2=1.21,\ \ 1.2^2=1.44,\ \ 1.3^2=1.69,\ \ 1.4^2=1.96,\ \ 1.5^2=2.25 \\[.2zh] 2乗して2になる数\,\ruizyoukon2\,は,\ 2乗して1.96になる数1.4より大きく,\ 2.25になる数1.5より小さい. \\[.2zh] つまり\ 1.4<\ruizyoukon2<1.5\ であり,\ \ruizyoukon2=1.4\cdots\cdots\ であることが確定する. \\[.2zh] さらに,\ 小数第2位を確定させるため,\ 1.4○^2\ を順に計算していく. \\[.2zh] 1.41^2=1.9881,\ \ 1.42^2=2.0164\ より\ 1.41<\ruizyoukon2<1.42\ であり,\ \ruizyoukon2=1.41\cdots\cdots\ とわかる.
次の数の平方根を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 49  \ (2)\ \ $\bunsuu{81}{25}$  \ (3)\ \ $3600$  \ (4)\ \ 0.04  \ (5)\ \ 0.0016  \ (6)\ \ 13 \\
いずれも正の数であるから,\ その平方根は2つある.\ 結局は2乗してその数になる数を考えればよい. \\[.2zh] 小数は何の2乗かがすぐわかるならばそれでよいが,\ わかりにくいならば次のように考えるとよい. 次の数を根号を使わずに表せ.
とにかく,\ \ruizyoukon{16}=\pm\,4\ などとしないように注意する. \\[1zh] (5)\ \ \ruizyoukon{(-\,6)^2}=-\,6\ とするのは\bm{誤り}である.\ +\ruizyoukon{○}\ が負の値になるはずはない. \\[.2zh] \phantom{(5)}\ \ 先に2乗を計算し,\ \ruizyoukon{(-\,6)^2}=\ruizyoukon{36}=6\ とする.
次の各組の数の大小を不等号を使って表せ. 平方根の大小
(1)\ \ まず,\ 正の数\ \ruizyoukon2,\ \ruizyoukon3,\ 2\ の大小を比較する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 根号がついている数とついていない数の大小をそのまま比較することはできない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{2乗して根号を外して比較する}か,\ 逆に\bm{根号の形に変形して比較するか}の2択である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \ruizyoukon2,\ \ \ruizyoukon3,\ \ 2をそれぞれ2乗すると\ 2,\ \ 3,\ \ 4\ である.\ \ 2<3<4より,\ \ruizyoukon2<\ruizyoukon3<2\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2を逆に混合の形に変形すると,\ 2=\ruizyoukon4\ である.\ よって,\ \ruizyoukon2<\ruizyoukon3<\ruizyoukon4\ と考えてもよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ \bm{負の数どうしでは絶対値が大きいほど小さい}. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ -\ruizyoukon2,\ -\ruizyoukon3,\ -\,2\,の絶対値はそれぞれ\ruizyoukon2,\ \ruizyoukon3,\ 2\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \ruizyoukon2<\ruizyoukon3<2\ より,\ -\,2<-\ruizyoukon3<-\ruizyoukon2\ となる. \\\\
(2)\ \ すべて負の数であるから,\ その絶対値を比較する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ それぞれ2乗し,\ さらに分数は小数に直して比較する. 満たす自然数$a$を求めよ.
(1)\ \ 各辺を2乗して考える. \\[1zh] (2)\ \ 単に各辺を2乗して考えるだけでなく,\ 式の意味を考える必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ aとa+1は,\ 2と3や3と4のように\bm{2つの連続する自然数}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \ruizyoukon{51}\ がどんな2つの連続する自然数ではさまれるかを考えることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2乗すると,\ \bm{51がどんな2つの連続する自然数の2乗ではさまれるか}を考えることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 7^2<51<8^2\ より,\ 7<\ruizyoukon{51}<8\ となるわけである.
次の数の中から無理数を選べ. \有理数と無理数
循環しない無限小数}(有理数でない数
数は有理数と無理数に大きく分類できる. \\[.2zh] \bm{比(分数)の形\ \bunsuu{(整数)}{(整数)}\ で表すことができる数}が\bm{有理数}である.  \rei\ \ \bunsuu25,\ \bunsuu{15}{32} \\[.8zh] 整数も有理数に含まれる.\ 例えば,\ 2は\ \bunsuu21\ や\ \bunsuu42\ などと表すことができる. \\[.8zh] 一方,\ 比の形で表すことができない数が\bm{無理数}である. \\[.2zh] 中学範囲で登場する無理数は,\ \bm{円周率\,\pi\,と根号のついた数}(\ruizyoukon2\,など)である. \\[.2zh] ただし,\ \ruizyoukon4=2\ や\ \ruizyoukon{64}=8\ のように根号がはずせるものは有理数である. \\[1zh] 比で表すことができるかできないかという意味では,\ 有\dot{比}数・無\dot{比}数と名付けてあればわかりやすい. \\[.2zh] しかし,\ 実際には有\dot{理}数・無\dot{理}数と名付けられている.\ 理由を調べてみると面白いかも? \\[1zh] \bm{有理数・無理数と小数の関係}も理解しておく必要がある. \\[.2zh] 0.1,\ 0.6,\ 0.24\ などのようにある位で終わる小数を\bm{有限小数}という. \\[.2zh] 有限小数は必ず分数で表せるから,\ 有限小数は有理数である.  \rei\ \ 0.3894=\bunsuu{3894}{10000} \\[.8zh] 限りなく続く小数を\bm{無限小数}という. \\[.2zh] 無限小数は,\ \bm{循環する無限小数(循環小数)}と\bm{循環しない無限小数}に分類される. \\[.2zh] 循環小数には,\ 0.7777\cdots\ (7を繰り返す),\ \ 0.235235\cdots\ (235を繰り返す)などがある. \\[.2zh] 循環小数は,\ 循環する部分の上に・をつけて表す.  \rei\ \ 0.7777\cdots=0.\dot{7} \\[.2zh] 循環部分が2つ以上ならば,\ 最初と最後の数字の上に・をつける.  \rei\ \ 0.235235\cdots=0.\dot{2}3\dot{5} \\[1zh] 重要なのは,\ \bm{循環小数ならば必ず分数で表せる}ことである.\ 発展的内容だが,\ 次のように変換できる. \\[.2zh] 元の数をxとおき,\ 10倍,\ 100倍などして小数部分をそろえてから引き算する.
結局,\ 分数で表せない(無理数になる)のは\bm{循環しない無限小数}のみとなる.