絶対不等式の利用① 相加平均と相乗平均の関係

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$\ 縦・横・高さの和が12の直方体を作るとき,\ 体積の最大値を求めよ.$ {括弧内は等号成立条件.  相加相乗で最大最小が求まるのは,\ 次の2パターンしかない. $$\ {積}が一定}のとき,\ {和}の最{小}値}が求まる. $$\ {和}が一定}のとき,\ {積}の最{大}値}が求まる.  よって,\ このパターンの問題でのみ相加相乗の利用を考えることになる.  最大最小問題で相加相乗を使用すると,\ 等号成立条件の確認が必須となる.  例えば,\ $xy2が示されても,\ (xyの最小値)=2と断定できない.$  仮に最小値100でも,\ $xy2が成り立つからである.$  よって,\ $xy=2となるx,\ yの存在を確認しなければならないのである.$  もし存在しなければ,\ 相加相乗以外の方法で最大最小を求めることになる. 積が一定のもとで,\ 和の最小を求めればよいから,\ 相加相乗が利用できる. 等号成立を忘れずに確認する.\ 2x=yをxy=4に代入して,\ x²=2 (相加平均)(相乗平均)}\ を用いると$ { }\ ゆえに 両辺を2乗して  { }\ 等号成立条件}は  \ も考慮すると (x,\ y)=(1,\ 2)}$ $ {(x,\ y)=(1,\ 2)\ のとき \ 最大値\ 2}$} 和が一定のもとで,\ 積の最大を求めればよいから,\ 相加相乗が利用できる. 等号成立を忘れずに確認する.  \ $直方体の縦の長さをx,\ 横の長さをy,\ 高さをzとおく.$ { }\ $条件\ x+y+z=12\ のもとで,\ xyz\ の最大値を求める.$  (相加平均)(相乗平均)}\ から$ { }\ 等号成立条件}は も考慮すると x=y=z=4}$ $ {体積の最大値\ 64}$} 和が一定のもとで,\ 積の最小を求めればよいから,\ 相加相乗が利用できる. 等号成立条件より,\ 1辺の長さが4の立方体となるとき,\ 体積が最大となる.
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