独立2変数2次式の最大・最小

independent-variable

最小値を求めよ.$ $\ 1 x3,\ -1 y4\ のとき,\ の最大値と最小値を求めよ.$ $\ x²+2xy+2y²+4x-2y+1\ の最小値を求めよ.$  $x+y=4のような条件がある場合,\ {2変数xとyは従属関係にある.$  $xとyが,\ 互いに自由に動けないからである.$  例えば,\ $x=3とすると,\ yは自動的にy=1に制限されてしまう.$  一方,\ ${何の条件もなければ,\ 2変数xとyは独立であるといえる.$  このとき,\ $xとyは互いに自由に動くことができる.$ \${変数が互いに独立ならば,\ 各文字についての大小を別々に考えればよい.$ 何の条件もないので,\ {2変数xとyは独立}である. よって,\ {xを含む部分x²+2xとyを含む部分y²-4yを別々に扱えばよい.} 2次式なので,\ それぞれを平方完成して最大・最小を考える. 結局,\ x+1=0\ かつ\ y-2=0のとき,\ 最小となることがわかる. xとyの不等式条件があるが,\ {それぞれ勝手に範囲内を動ける.} よって,\ {2変数xとyが独立である}ことには変わりない. ゆえに,\ {(x+1)²\ と\ (y-2)²\ の最大・最小を別々に考えればよい.} 与えられた条件を元に,\ 取りうる値の範囲を順番に考えていく. x+1=4,\ つまり\ x=3\ のとき,\ (x+1)²\ の最大値\ 16 x+1=2,\ つまり\ x=1\ のとき,\ (x+1)²\ の最小値\ 4 -3 y-22\ だからといって,\ 9(y-2)²4\ ではないので注意! Y=X²\ (-3 X2)の値域は,\ 当然\ 0 Y9\ であろう. y-2=-3,\ つまり\ y=-1\ のとき,\ (y-2)²\ の最大値\ 9 y-2=0,\ つまり,\ y=2\ のとき,\ (y-2)²\ の最小値\ 0 結局,\ 最大値\ 16+9-4=21,\ 最小値\ 4+0-4=0 xとyは独立だが,\ {2xyの項は,\ xとyの両方に依存する.} この場合,\ まず{xまたはyの1文字の式と見て平方完成}を行う. 本問は,\ xの係数が1なので,\ xで整理してから平方完成する. {xの式とみたときの最小は,\ x=-y-2\ のとき,\ y²-6y-3}\ とわかる. さらに,\ {y²-6y-3\ をyについて平方完成し,\ yについての最小を求める.} 結局,\ 2段階で平方完成して,\ 両方とも( )²=0となるときが最小である. 後で述べる1文字固定法(予選決勝法)と実質同じ方法である.

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