不等式条件つき2変数関数の最大・最小 1文字消去法②

2x+y=8,\ x0,\ y0\ のとき,\ xy\ の最大値と最小値を求めよ.$ $\ のとき,\ x²y²+4x²+y²\ の最大値と最小値を求めよ.$ { }\ よって $x=2\ のとき 最大値\ 8, x=0,\ 4\ のとき 最小値0$ 1つの等式を用いて1文字消去できるため,\ {実質1変数}の問題である. しかし,\ {文字消去するとき,\ 消去する文字の存在条件に注意を払う}必要がある. 本問は,\ 分数にならないようyを消去する方針でいく. ここで,\ 消去するyには,\ y0という存在条件がある. そこで,\ {yの条件を残す文字xの条件に変換しておく}必要があるのである. 最後,\ x=2,\ 0,\ 4のときのyの値は,\ y=-2x+8から求められる. 普通に1文字消去しようとすると,\ 4次関数になってしまい大変である. は,\ 暗に「xyのみの式にせよ」ということを示唆している. 本問は,\ {対称式と同様の変形により,\ xyのみで表せる.} 4x²+y²を2xとyの対称式(2x)²+y²とみなすのである. 後は,\ {で求めたxyの範囲で,\ xyの2次関数の最大・最小}を考えればよい. はを{xyのみの式にしたときの定義域を求める誘導}だったわけである. わかりにくければ,\ 「xy=tとして,\ x²y²+4x²+y²をtで表す」と考える. 4x²+y²=(2x+y)²-4t=64-4t\ より,\ t²-4t+64\ の最大・最小に帰着する.
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