同次式② 比の置換

一般の同次式には,\ 基本的な扱いがある.  同次式は,\ 比の置換によって,\ 1変数関数に帰着する.  まず,\ 比の形にするために,\ 一方の文字の最高次の項で割ることになる. tの実数存在条件 1文字消去法などの基本的な解法は難しい. {=k\ とおいて,\ とを満たすx,\ yの実数存在条件を考える(逆像法).} {2つの式から定数部分を消去}することで,\ {2次同次式}\ ()となる. まず,\ 両辺をyで割る前に,\ y=0の場合を分けておく. y0のとき,\ {両辺をy²\ で割り,\ xy=t\ とおくと,\ 1変数に帰着する.} 実数tが存在すれば,\ t= xy\ より,\ 対応する実数x,\ yが存在する. よって,\ {実数tが存在するようkを定める.} tの2次式なので,\ {判別式}により,\ kのとりうる値の範囲が定まる. ここで,\ 「かつ」「かつ」より,\ から求まるkの値は必要条件である. かつを満たす実数x,\ yを実際に求めて十分性を示す. kが最大・最小をとるのは,\ D=0のときである. よって,\ tの値は,\ 重解\ t=-{-8k}{2(4k-1)}={4k}{4k-1}\ として求められる. (∵\ ax²+bx+c=0\ において,\ 重解\ x=- {b}{2a}) {(相加平均)(相乗平均)}{t=2のとき等号が成立}する.$ {分母分子がいずれも2次同次式の分数}であり,\ この場合も比の置換に持ち込める. 分母分子をx²\ で割ると,\ tの1変数関数に帰着する. 置換した文字\ t= yx\ がとりうる値の範囲を考える.とすると間違える. 2つの不等式を商で合体させるのは危険なので,\ {積\ y1x\ と考えて合体させる.} 置換後,\ {(1次式)}{(2次式)}\ となるが,\ この形の最大の求め方は頻出パターンである. {変数tを分母に集めるために,\ 分母分子をtで割る.} すると,\ {分母に相加平均と相乗平均の関係が適用できる}形が表れる. 相加相乗で最大を求めるのであるから,\ {等号成立条件}の確認も忘れずに行う.
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