逆像法② 実数存在条件(図示できない場合)

図示が難しい2変数関数${f(x,\ y)}$の最大・最小では,\ 領域が利用できない.  しかし,\ 図示できるか否かは本質的な問題ではない.  重要なのは,\ ${kに対応する実数x,\ yが存在するか否かである.$  よって,\ 図示できなくても,\ ${連立して実数存在条件を考えればよいのである.$ {y=kとおいて連立(代入)し,\ xの実数存在条件を考える}のが基本である. ただし,\ 本問ではわざわざkとおく必要性もないため,\ yのままで計算した. {xについては2次方程式であるから,\ 実数存在条件は判別式}を用いる. yがとりうる値の範囲がわかり,\ それはyの最大・最小が求まったことを意味する. xの実数存在条件 {連立してkに対応する実数xの存在を追求する.} kに対応するxが存在するとき,\ y=-2x+kより,\ yの存在も保証される. 最大・最小をとるときのxは,\ 重解\ x=-{-3k}{23}= k2\ で求まる. その後,\ y=-2x+kを用いてyを求める. zの実数存在条件} 3変数で2つの等式条件があるから,\ {実質1変数の問題}である. しかし,\ 1文字消去法は難しい.\ そこで,\ {=kとおき,\ 実数存在条件で求める.} また,\ 3変数なので図示することはできず,\ 連立方程式と考える. まず,\ 1次の等式2つを利用して,\ 2文字を消去することを考える. {何を残して何を消去するかという明確な意図をもって式変形する}ことを心掛ける. 本問では,\ 消去しやすそうなx,\ yを消去し,\ zを残すことにした. そのために,\ まず2式からyを消去してx,\ zのみの式を作り,\ {xをzの式で表す.} また,\ xを消去してy,\ zのみの式を作り,\ {yをzの式で表す.} 結局,\ zの2次方程式となるので,\ 判別式でkの範囲を定めることになる. 最大・最小をとるときのzは,\ 重解 さらに,\ x=2z+2k+1,\ y=-z+k+1\ を用いて,\ x,\ yを求める.
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