同次式① 条件が円・楕円の2次同次式

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には2つの特徴がある.\ まずはそれを確認しよう.  1つ目の特徴は,\ $x²+2xy+3y²\ が,\ {全て2次の項で作られている点である.$  このような式を,\ 2次同次式という.  2つ目の特徴は,\ 条件式が図形的に円を表す点である.  この特徴を持つ問題の最大・最小では,\ ${x,\ yを媒介変数表示にする.$  条件が円なので,\ では,\ ${(x,\ y)=(cosθ,\ sinθ)\ とおける.$  結局,\ $1変数\ θ\ の関数に帰着する.$  具体的には,\ ${三角関数のsinθ\ と\ cosθ\ の2次同次式のパターン問題だ.$  このパターン問題の解法を簡単に確認しておく.   $\ 次の公式を用いて,\ {角を2θ\ に統一する.$   $\ さらに,\ {三角関数の合成により,\ 変数\ θ\ を1ヶ所に集める.$ 媒介変数表示するとき,\ θ\ の範囲は,\ 円の1周分で十分なので,\ とする. 1周しているならば,\ 角の範囲はないも同然である. よって,\ sin のとりうる値の範囲は,\ 単純に-1から1までとなり,\ 楽に求まる. さて,\ 最大・最小となるときの(x,\ y)は,\ かなり大変だが,\ 求めることができる. 要求されることもあるので,\ 求めることができるようにしておいてほしい. 半角の公式・補角の公式・余角の公式等をうまく用いると,\ 少ない労力で求まる. 文系は学習しないが,\ {4x²+9y²=36\ は楕円}である. 大まかには,\ x²とy²の係数が等しいものが円で,\ 異なるものが楕円である. まず,\ {条件式を=1の形にする.} と比較する. つまり,\ { x3=cosθ,\ y2=sinθ}\ とおけばよいことがわかる. 後は,\ 三角関数の2次同次式のパターン問題である. 本問は,\ 合成するときに綺麗な角にはならない. よって,\ {角を\ α\ とし,\ cosα,\ sinα\ の値を併記する.} このとき,\ α\ が,\を満たす\namikasen{定角}であることに注意する. と同様,\ 角の範囲が1周より大きいので,\ とりうる値の範囲は容易に求まる. さて,\ 最大・最小となるときの(x,\ y)も大変だが求めておく. 他も同様にして求めればよいので省略. (複合同順)\ で最小をとる.

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