解けない数列の和の不等式の定積分を利用する証明

2以上の自然数nに対して,\ 次の不等式が成立することを示せ.$ 1²+2²+3²++n²\ の不等式ならば,\ Σk²=16n(n+1)(2n+1)\ として証明すれば済む. しかし,\ 本問の\ Σ{1}{k²}\ は簡単な式で表せない.\ この場合,\ {和を面積とみて定積分を利用}する. 一般に,\ {Σf(k)\ は\ y=f(x)\ のグラフで作られる長方形の面積の和}とみなすことができる. つまり,\ 図のように幅1の長方形を作ると,\ その面積は高さの和に等しくなるわけである. さて,\ {長方形の面積の和(斜線部分)は,\ 色塗り部分の面積よりも小さい.} このことを数式にすると不等式が示される. オレンジの部分の面積は1,\ 水色の部分の面積は定積分で求められる. ∫0}{n}{1}{x²}dx\ は積分できないから,\ {0 x1の長方形だけは評価せずに特別扱い}する. y={1}{x²}が単調減少関数であることはほぼ自明だが,\ 念のため微分して示しておいた. Σ{1}{k²}\ の面積は,\ 先のように左側に作る方法もあれば,\ このように右側に作ることもできる. 右側に作ると和を下から評価できる.\ {1}{n²}の長方形まで作ると右端はn+1になることに注意. {長方形の面積の和(斜線部分)は,\ 色塗り部分の面積よりも大きい.} ここで,\ {オレンジ色の長方形は特別扱い}している(評価していない)ことに注意して欲しい. 単純には\ ∫1}{n+1}{1}{x²}dx<Σ{1}{k²}\ としたいところである. しかし,\ この積分は\ 1-{1}{n+1}\ であり,\ 問題の\ 1-1n+{1}{n²}\ とは異なる. そこで,\ 1-1n+{1}{n²}を観察し,\ n x n+1の面積\ {1}{n²}\ を特別扱いしようと考えたのである. 1-{1}{n+1}\ に比べ,\ 矢印の非常に微小な部分の面積だけ厳しく評価できたことになる. このように,\ 状況に応じてどこからどこまで評価するかを考えなければならない. {区間\ k x k+1\ を元に定積分\ ∫1}{n}{1}{x²}dx\ を評価する}ことを考えると証明できる. この各辺を積分する時点で等号がはずれる.\ Σ\ とすると左辺が\ {1}{(n+1)²}\ までの和になってしまうため,\ n-1}\ をとる. 左辺と右辺は和の形で書き出す 数式だけで示したが,\ 実はは上図の面積比較であり,\ 先の方法と本質的に同じである. つまり,\ {(小さい長方形)<∫k}{k+1}{1}{x²}dx<(大きい長方形)}\ のように定積分を評価したわけである. 　評価の精度の改良 　　図より,\ 左の長方形ほど評価したときの誤差が大きくなる. 　　よって,\ 左の長方形を評価せずに実際の面積の値を使用すると不等式を改良できる. 　　例として,\ 左の3個の長方形に実際の値を適用して不等式を作成する. 　　改良によって,\ $1.61<Σ{1}{k²}<1.69$\ にまで精度向上したわけである. 　　ここで,\ $a_n={1}{1²}+{1}{2²}+{1}{3²}++{1}{n²}\ とすると,\ a_nは単調増加数列}である.$ 　　また,\ $Σ{1}{k²}<{61}{36}$\ より上に有界}であるから,\ $a_n=Σ{1}{k²}$\ は収束}する. 1.64$\ であることが知られている. 収束 & (s>1) 発散