絶対値付き方程式・不等式(瞬殺型①)|x|=a、|x|>a、|x|<a

(4)で「-4<|x-3|<4」となっていますが、「-6<|x-3|<4」の誤りですm(_ _)m

絶対値は,\ 中身が正か負かで場合分けをしてはずすのであった. しかし,\ 右辺が正の定数}の方程式・不等式ならば,\ 場合分けせずにはずすことができる. 絶対値が原点からの距離を意味することを利用するのである. {ForestGreen}{原点からの距離}がaとなる位置{原点からの距離}がaより近い範囲}) (原点からの距離}がaより遠い範囲}) $ 以下のように,\ 数直線で考えるとよりわかりやすいだろう. 絶対値を一発ではずせるこの3つの型を当サイトでは「瞬殺型」と呼ぶことにする.とするミスが絶望的に多い. ₀ 「 aより小さい(大きい)」では意味不明である. 瞬殺型の解法は,\ 絶対値の意味合いから理解しておく必要があるのである. ま}た}は}\ a0なのでX=3とできる. 右辺が正の定数かどうかを確認した上で適用すること. {2乗の平方根は絶対値をつけてはずす}のであった. {(x-3)²}=x-3}\ とすると,\ 絶対値付き不等式に帰着する. A0)$の場合の解法を学習した. 大抵はこの場合だけで十分なのだが,\ ${a=0}$や${a<0}$の場合もたまたま見かける. 学校の授業では軽視されるが,\ これらの場合の扱いも確認しておく必要がある. ここでも決定的に重要になるのは,\ 絶対値が原点からの距離を意味することである. 距離なので,\ 絶対値がついたものは常に0以上になる(負にはなり得ない). つまり,\ ${X}$が何であれ},\ 常に${X}0}$であり,\ $X}<0$になることはない. {xは存在しない.{$x$に何を代入しても成り立たない})xは0以外の全ての実数. ($0以外ならばxに何を代入しても成り立つ$}) $ $a<0$のときは,\ 具体例として$a=-1$の場合を示す(0より小さい値なら何でも同じ). ${a=-1$のとき$ \ {x}=-1xは存在しない. ($x$に何を代入しても成り立たない}) \ {x}<-1xは存在しない. ($x$に何を代入しても成り立たない}) \ {x}>-1xは全ての実数. ($x$に何を代入しても成り立つ}) $ これらを暗記しようとしていると応用が利かなくなる. 常に$ x0$であることを元にして,\ 方程式・不等式を満たす$x$が何かをその都度考える. 「x-3}=-12を満たすxは存在しないので」と記述してもよいが長くなる. 「x-3}0より」と記述するのが簡潔である.\ 採点者はこれだけで理解できる. は,\ 絶対値の意味合いを考えると分割せずに解ける.=”” となるが,\=”” 自動的にx-3}0なのでの方は事実上無視できる.=”” 考慮したとしても,\=”” は全ての実数」であり,\=”” 最終結果に影響しない.=”” か}つ}\=”” x-3}<4全ての実数\="" か}つ}="" 自動的にx-1}0なのでx-1}-10の方は事実上無視できる.="" 「x-1}-10xは存在しない」であり,型の不等式はと考えて解くこともできる(別解).
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