文字係数の2元連立1次方程式

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a$を定数とするとき,\ 連立方程式\ $ ax+y=1 & x+ay=1 & 文字係数の2元連立1次方程式 $ a-\ より (a²-1)x=a-1    よって (a+1)(a-1)x=a-1}\ $ lll} $a1}\ のとき$ & $よりx={1}{a+1$ & $よりy=1-a{1}{a+1}={1}{a+1}$ $a=1}\ のとき$ & $よりxは全ての実数.}$  & $よりx=t\ とすると y=1-t$ [3]$a=-1}\ のとき$ & $よりxは存在しない.}$ & $ {a1}\ のとき & {(x,\ y)=({1}{a+1},\ {1}{a+1})} {a=1}\ のとき & {(x,\ y)=(t,\ 1-t)(tは全ての実数)} {a=-1}\ のとき & {解なし.} 基本的には普通の連立方程式のように解けばよい.\ yを消去するとxの1次方程式()に帰着する. 係数に文字を含むので,\ 安易にx={1}{a+1}\ としてはならない.\ {0で割ることは許されない}のである. (a+1)(a-1)0,\ つまりa1のとき,\ x={a-1}{(a+1)(a-1)}={1}{a+1}\ とできる. 普通の方程式と同様,\ にxの値を代入してyの値を求める. a=1のとき,\ 0 x=0となる.\ これはxに何を代入しても成立するから,\ xは全ての実数となる. a=1のときはx+y=1であり,\ xが全ての実数ならばyも全ての実数である. だからといって,\ 「xとyは全ての実数」と解答してはならない. xとyが無関係に全ての実数をとるわけではないからである.\ 例えば,\ (x,\ y)=(1,\ 2)は解ではない. (x,\ y)=(1,\ 0),\ (0,\ 1),\ (12,\ 12)などのように,\ x+y=1を満たす全ての実数が解である. この場合,\ {一方を文字でおいて解を表現する}のが普通である. a=-1のとき,\ 0 x=-2となる.\ これはxに何を代入しても成立しない. 当然,\ 連立方程式の解も存在しない. さて,\ 連立1次方程式の解は,\ 図形的にとらえると直感的に理解できる(数II). 1次方程式は図形的には直線を表すから,\ 連立1次方程式の解は2直線の共有点である. 2直線の位置関係は,\ 1点で交わる場合を含め,\ 全部で以下の3つの場合がある. それに対応して,\ 連立1次方程式の解も本質的には3つに分類される. 文字係数によって複数の可能性が考えられるならば,\ 場合分けをして答えることになる. }{1点で交わる{ただ1組の解をもつ一致する}{無数の解をもつ{平行で異なる解をもたない 先の解答ではに$a=1$を代入したが,\ 問題の式(,\ )に$a=1$を代入してもよい. $a=1}$のとき,\ とはともに$x+y=1$}となる.\ これを満たす$(x,\ y)$は無数にある. [3]$a=-1}$のとき,\ は$y=x+1$,\ は$y=x-1$}となる.\ これを満たす$(x,\ y)$はない.
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