文字係数の1次方程式

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a,\ b$を定数とするとき,\ 次の方程式を解け. $ax=2$  $(a²+1)x=1$  $a²x+2=4x+a²-a$  $ax=b$ 解は全ての実数.} {b0}\ のとき 0 x=b(0)}\ より & {解なし.} x=2a\ のみで解答を終えると0点である. ax=2をx=2aにしたということは,\ 両辺をaで割ったということである. しかし,\ そもそも数学では0で割ることが許されていない. よって,\ 問題にa0とでもない限り,\ a0とa=0の場合を分けて答えなければならない. このように,\ {安易に文字で割ってはいけない}のである. a=0のときの解は実際に代入して考える. 0 x=2はxに何を代入しても等号が成立しないから,\ 解なしとなる. 常にa²0より常にa²+1>0であり,\ a²+1=0となることはありえない. よって,\ 場合分けの必要はなく,\ 単純にa²+1で両辺を割ることができる. 複雑に見えるが,\ 結局はxについての1次方程式である. 普通の1次方程式と同様,\ ax=bの形に変形するのが先決である. さらに,\ 因数分解できることに気付かなければならない. (a+2)(a-2)0,\ つまりa=2のとき,\ 両辺を(a+2)(a-2)で割ることができる. このとき,\ x={(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-2)}={a+2}{a+1}\ となる. 0 x=0はxに何を代入しても等号が成立するから,\ 解は全ての実数となる. aが0か否かで場合分けがいるのはもちろん,\ bが0か否かでも解が変わるので場合分けがいる. 結局,\ 1次方程式の解が本質的には3種類あることがわかる.
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