1次無理関数のグラフと定義域・値域

無理関数\ y={a(x-p)}+q\ のグラフ$ ${y={ax$のグラフを${x}$軸方向に${p}$,${y}$軸方向に${q}$平行移動したもの. y= x\ のグラフの形は,\ すぐ後に学習する逆関数の知識があるとわかりやすいので簡単に説明する. 逆関数とは,\ 元の関数のxとyを入れ替えた関数のことである. そして,\ xとyを入れ替えることは,\ 図形的には{直線y=xに関して対称移動する}ことに相当する. ここで,\ {y= xy²=x\ かつ\ y0}\ である. y²=xはy=- x\ も含んでいるので,\ y0もつけて初めてy= x\ と同値になる. なお,\ 常にy²0より,\ y²=xならばx0も自動的に成り立つから,\ x0をつける必要はない. さて,\ y²=x\ かつ\ y0\ のxとyを入れ替えると,\ x²=y\ (x0)\ となる. これは,\ 放物線y=x²\ の右半分に他ならず,\ y= x\ とy=x²\ (x0)\ は逆関数の関係にある. つまり,\ {y=x²\ (x0)を直線y=xに関して対称移動したグラフが\ y= x}\ である. {X}\ があるとき,\ {X0\ かつ\ {X}0}\ である.\ つまり,\ 中身も全体も0以上である. こうして定義域・値域が求まるが,\ この視点は無理関数の図示において極めて重要な役割を果たす. y= x\ のyを-yに変えた-y= x,\ つまり{y=- x\ は\ y= x\ とx軸対称}の関係にある. 定義域は当然x0,\ 値域は\ x0\ より\ y=- x0\ である. y= x\ のxを-xに変えた{y={-x}\ は\ y= x\ とy軸対称}の関係にある. 定義域は-x0よりx0,\ 値域は\ y={-x}0である. y= x\ のxとyを-xと-yに変えた{y=-{-x}\ は\ y= x\ と原点対称}の関係にある. 定義域は-x0よりx0,\ 値域は\ {-x}0\ より\ y=-{-x}0である. y={ax}\ の両辺を2乗してxとyを入れ替えるとx²=ay,\ つまりy=1ax²\ である. よって,\ aの値が大きいほど広がり具合が大きいグラフになる. 一般に,\ x→x-p,\ y→y-qとすると,\ グラフはx軸方向にp,\ y軸方向にq平行移動される. まずy={a(x-p)}+q\ の形に変形し,\ 平行移動量を確認する. y={2x-4}={2(x-2)}\ より,\ y={2x}\ をx方向に2平行移動したグラフである. さらに,\ {定義域と値域を確認しておく}と図示しやすい. 頂点を中心とする右上・右下・左上・左下の領域の内のどこに存在するかがわかるからである. 定義域は2x-40よりx2,\ 値域は\ {2x-4}0よりy0である. よって,\ 頂点(2,\ 0)を中心とする右上の領域に存在することがわかる. 2次関数のグラフは,\ 頂点と他の1点が定まることで一意に定まる. よって,\ 頂点以外の1点もとっておくべきであり,\ ここでは簡単な点(4,\ 2)をとった. y=-{x-(-2)}+1より,\ 頂点(-2,\ 1)である. 定義域はx+20よりx-2,\ 値域は-{x+2}0よりy1である. よって,\ 右下の領域に存在する. グラフが軸と交わる場合,\ その交点の座標をとればよい.\ グラフを間違える可能性もなくなる. y={-2x+3}-2={-2(x-32)}-2より,\ 頂点(32,\ -2)である. 定義域は-2x+30よりx32,\ 値域は\ {-2x+3}0よりy-2である. よって,\ 左上の領域に存在する. y=1-{2-x}=-{-(x-2)}+1より,\ 頂点(2,\ 1)である. 2-x0より定義域x2,\ -{2-x}0より値域y1である. よって,\ 左下の領域に存在する.