【ロイド鏡】
波長λの単色光を発する点光源Sを、水平面上の点Cから高さhの位置に置く。
Cから水平方向に距離Lだけ離れた位置に、水平面に垂直なスクリーンを置き、水平面とスクリーンの交点をOとする。スクリーン上のOから上方に距離xの点をPとする。
水平面上には、Cからの距離がL/9の点AからL/3の点Bまでの部分にのみ平面鏡が置かれている。SからPへ直接進む光と、この鏡で1回反射してPへ達する光が干渉するものとする。また、Sの水平面に関する対称点をS’とする。
鏡面での反射によって光の位相はπだけ変化するものとし、L≫h, xとする。
(1) 鏡で反射してPへ達する光の反射点をQとする。CQ=qとするとき、qをh, L, xを用いて表せ。
(2) スクリーン上で直接光と反射光がともに到達し、干渉縞が現れるxの範囲を求めよ。
(3) 直接Pへ達する光と鏡で反射してPへ達する光の幾何学的な光路差をδとする。
√(1+u)≈1+u/2（|u|≪1）を用いて、δ≈2hx/Lとなることを示せ。
(4) Pが明線となる条件を整数mを用いて表せ。m次の明線の位置x_mも求めよ。
(5) h=5.0×10^-4 m、L=1.0 m、λ=5.0×10^-7 mとする。スクリーン上に現れる明線の本数を求めよ。
【解答】
(1) △S’CQ∽△POQより、
CQ/OQ=S’C/PO
よって、
q/(L-q)=h/x
qx=h(L-q)より、
q(h+x)=hL
したがって、
q=hL/(h+x)
鏡面反射を含む光路は、光源を鏡面に関して対称移動した虚光源から直進する光路に変換して考えられる。
ロイド鏡の場合、点光源Sの鏡面に関する対称点S’を虚光源とみなすことで、幾何学的にはヤングの干渉実験と同様の2光源の干渉として扱える。
つまり、反射点をQとすると、光路S→Q→Pの経路長は、光路S’→Q→Pの経路長に等しい。ただし、鏡面反射による位相の変化を考慮する必要がある。
(2) Qが平面鏡上にあるための条件は、
L/9≦q≦L/3
(1)より、
L/9≦hL/(h+x)≦L/3
これをxについて解くと、
2h≦x≦8h
よって、干渉縞が現れる範囲は、Oから上方へ2h以上8h以下の範囲である。
(3)
SP=√{L²+(x-h)²}
≈L{1+(x-h)²/(2L²)}
反射光の経路長は、
SQ+QP=S’Q+QP=S’P
また、
S’P=√{L²+(x+h)²}
≈L{1+(x+h)²/(2L²)}
よって、
δ=S’P-SP
≈{(x+h)²-(x-h)²}/(2L)
=4hx/(2L)
=2hx/L
(4) 鏡面で反射した光のみ位相がπだけ変化するため、通常の場合とは明暗の条件が逆転する。
明線条件
2hx/L=(m+1/2)λ
（m=0, 1, 2, …）
m次の明線の位置
x_m=(m+1/2)λL/(2h)
位相がπ変化することは、光路差が半波長λ/2だけずれたことに相当する。
よって、幾何学的光路差が整数倍の波長となる位置では暗線、半整数倍の波長となる位置では明線となる。
暗線条件
2hx/L=mλ
（m=0, 1, 2, …）
なお、鏡が十分に広く反射光がx=0まで到達する場合には、m=0よりx=0は暗線となる。
(5)
λL/(2h)
=(5.0×10^-7×1.0)/(2×5.0×10^-4)
=5.0×10^-4 m
=0.50 mm
よって、明線の位置は、
x_m=(m+1/2)×0.50 mm
（m=0, 1, 2, …）
(2)より、干渉縞が現れる範囲は、
2h≦x≦8h
つまり、
1.0 mm≦x≦4.0 mm
この範囲にある明線はm=2, 3, 4, 5, 6, 7に対応し、それぞれ、
x_m=1.25, 1.75, 2.25, 2.75, 3.25, 3.75 mm
となる。
よって、スクリーン上に現れる明線の本数は6本である。
m次の明線の位置が干渉縞の範囲内にあるような整数mが何個あるかを考えればよい。
m=0, 1, …を順に代入してx_mを求めてもよいが、不等式からmの範囲を直接求めることもできる。
1.0≦(m+1/2)×0.50≦4.0
より、
3/2≦m≦15/2
これを満たす整数mは、m=2, 3, …, 7の6個である。本数を求めるだけならば、x_mの値を個別に求める必要はない。
【フレネルの2面鏡】
2枚の平面鏡M₁, M₂を同一平面上に置いた状態から、点Cを境にそれぞれ反対向きに微小角θずつ傾ける。
波長λの単色光を発する点光源Sを2面鏡の対称面上に置き、CS=aとする。M₁, M₂によって生じるSの虚像をそれぞれS₁, S₂とする。
S₁, S₂の中点をHとし、Hから距離Lの位置にS₁S₂と平行なスクリーンを置く。Hの正面をOとし、スクリーン上ではOを原点として上向きを正とする座標xをとる。
スクリーン上の座標xの点をPとする。SからPへ直接達する光は干渉には寄与しないものとし、M₁, M₂でそれぞれ1回反射してPへ達する2つの光の干渉のみを考える。
ただし、θ≪1とし、sin2θ≈2θを用いてよい。また、L≫aθ, |x|とし、M₁, M₂で反射した光はともにPに到達するものとする。
(1) 2つの虚光源の間隔d=S₁S₂をa, θを用いて表せ。さらに、θ≪1のときの近似式を求めよ。
(2) S₁を上側、S₂を下側の虚光源とする。Pに達する2つの反射光の幾何学的な光路差をδ=S₂P-S₁Pとする。δ≈4aθx/Lとなることを示せ。
(3) M₁, M₂で反射した2つの光は、それぞれ鏡面で1回ずつ反射してPに到達する。鏡面反射による位相変化を考慮して、Pが明線となる条件を整数mを用いて表せ。さらに、m次の明線の位置x_mを求めよ。
(4) 隣り合う明線の間隔Δxを求めよ。また、Oが明線と暗線のどちらになるかを答えよ。
【解答】
(1) CS₁=a、∠S₁CH=2θより、
d=S₁S₂
=2・S₁H
=2a sin2θ
θ≪1よりsin2θ≈2θであるから、
d≈4aθ
S₁は平面鏡M₁に関してSの対称点であるから、
CS=CS₁=a
である。
また、SS₁は鏡面M₁に垂直である。M₁はもとの平面からθだけ傾いているから、その垂線SS₁も、もとの平面の垂線SCからθだけ傾く。
よって、
∠S₁SC=θ
である。
CS=CS₁より三角形CSS₁は二等辺三角形であるから、
∠CS₁S=∠S₁SC=θ
である。
よって、
∠S₁CS=π-2θ
となり、結局、
∠S₁CH=π-∠S₁CS=2θ
である。
一見すると複雑だが、対称移動、垂直、二等辺三角形、直線のつくる角といった中学幾何の範囲である。
(2) 図のようにx>0の場合を考える。(1)より、
d≈4aθ
である。
また、L≫aθより、
L≫d
とみなせる。よって、Pに向かう2本の光線はほぼ平行である。
L≫|x|より、αは十分小さく、
sinα≈tanα
である。
したがって、
δ=S₂P-S₁P
≈S₂K
=d sinα
≈d tanα
=dx/L
d≈4aθを代入すると、
δ≈4aθx/L
となる。この式はx<0のときも成立する。
フレネル鏡の場合も、点光源Sの鏡面に関する対称点S₁, S₂を虚光源とみなすことで、幾何学的にはヤングの干渉実験と同様の2光源の干渉として扱える。
問題で特に指定がない場合、光路差はヤングの干渉実験と同様の簡便法で求めるとよい。
(3) M₁, M₂で反射した光は、ともに鏡面で1回ずつ反射し、同じ位相変化を受けるため、2つの光の位相差は変わらない。明暗の条件も通常のヤングの干渉実験と同じである。
明線条件
4aθx/L=mλ
（m=0, ±1, ±2, …）
m次の明線の位置
x_m=mλL/(4aθ)
(4) 隣り合う明線の間隔は、
Δx=x_(m+1)-x_m
={(m+1)λL}/{4aθ}-{mλL}/{4aθ}
=λL/(4aθ)
Oではx=0であり、m=0の明線条件を満たすから、Oには明線ができる。
