楕円$x²+4y²=4$を原点を中心として${π}{6}$回転して得られる楕円の方程式を求めよ. (x,\ y)}$を原点を中心として$θ$回転移動}した点を$(X,\ Y)}$とする. \ 2次曲線や三角形なども含め,\ 座標平面上の図形はすべて{点の集合}である. よって,\ 回転移動を含めたあらゆる移動は{点の移動}に帰着する. 原点を中心として点を回転移動させるには{複素数平面の利用}が有効である. 移動前の点(x,\ y)と移動後の点(X,\ Y)は,\ 複素数{x}+{y},\ {X}+{Y}\ に対応する. そして,\ 原点を中心とするθ回転に対応する複素数は\ θ\ である. よって,\ {X}+{Y}=({θ})({x}+{y})\ とすると,\ 回転後の点(X,\ Y)が求められる. さて,\ 方程式の移動の場合は(x,\ y)と(X,\ Y)の関係式が求めて終わりではない. この関係式を用いてX,\ Yの方程式を導かなければならない. つまり,\ 元の方程式\ x²+4y²=4\ と関係式からx,\ yを消去してX,\ Yの方程式を導く. もし,\ 関係式がX=,\ Y=の形なら,\ x=,\ y=に変形した後\ x²+4y²=4\ に代入することになる. 面倒なので,\ 最初から{x=,\ y=の形になるように(x,\ y)と(X,\ Y)の関係式を求める}とよい. つまり,\ {移動後の点(X,\ Y)を-θ回転移動すると移動前の点(x,\ y)に移る}と考えるのである. こうして,\ x=(X,\ Yの式),\ y=(X,\ Yの式)が得られる. これを元の方程式に代入すると,\ 移動後の点(X,\ Y)が満たすべき方程式が得られる. 以上の考え方は,\ あらゆる図形のあらゆる移動に通用する極めて応用性の高いものである. {移動前}の点を移動後}の点の式で表し,\ 移動前}の式に代入すると移動後}の式が得られる}わけである. }曲線$xy=1$を原点を中心として$-{π}{4}$回転移動して得られる曲線の方程式を求めよ. (x,\ y)と(X,\ Y)の関係式を導く過程は前問と同じなので省略した. 単純に計算すれば,\ {双曲線\ {x²}{²}-{y²}{²}=1}\ が得られる. xy=1は\ y=1x,\ つまり中学校で学習した{反比例の式}である. その正体は,\ 直角双曲線(漸近線が直角をなす双曲線)を45°回転移動したものだったのである. 2次曲線の標準化 次の方程式で表される曲線を2次曲線という. ${ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0$ $特殊な場合を除き,\ {放物線・楕円・双曲線のいずれかになる.$ $ここで,\ 平行移動に起因する項dx,\ eyや定数項fは本質的なものではない.$ ${2次曲線の形状を決定づけるのは\ ax²+bxy+cy²\ の部分である.$ $さて,\ 2次曲線の標準形(xyの項なし)を回転して得られる方程式にはxyの項が現れる.$ $逆に言えば,\ {2次曲線は適切に回転するとxyの項を消去して標準形に変形できる({標準化).$ $ax²+bxy+cy²\ (b0)\ を標準化することを考える.$ $まず,\ ax²+bxy+cy²}\ を\ θ回転移動}して\ AX²+BXY+CY²}\ になるとする.$ $移動前の点(x,\ y)と移動後の点(X,\ Y)の関係は $B=0}\ となる条件は $仮に,\ 先ほどの問題で得られた斜め楕円\ 7x²-63xy+13y²=16\ を標準化するとしよう.$ $a cより tan2θ}={-63}{13-7}=-3}$ $-{π}{2}\ のとき 2θ=-{π}{3},\ 23π より θ=-{π}{6},\ {π}{3$ $-{π}{6}\ 回転で横長楕円\ x²+4y²=4\ に戻り,\ {π}{3}\ 回転では縦長楕円\ 4x²+y²=4\ になる.$ $ちなみに,\ 反比例の式xy=1はa=cなので,\ {π}{4}\ 回転で標準化できることもわかる.$ $[l} 受験においては標準化自体はそこまで重要なわけではなく,\ この結果を公式として覚える必要もない. しかし,\ 標準化を背景とする問題は出題されるので,\ 大筋を理解しておくことが望ましい. Bは2倍角の公式\ sin2θ=2sinθcosθ,cos2θ=cos²θ-sin²θ\ を逆に用いると簡潔になる. 回転角は\ -{π}{2}で考えれば十分である. 覚える必要はないが,\ 2次曲線の判別式は知識としてもっておきたい. B²-4AC=b²-4ac\ であることに着目する. 単純に代入しても示せる等式だが,\ 面倒なのでここでは対称性を生かしてテクニカルに示している. B²=0\ のとき,\ AX²+CY²+=0\ は標準化された2次曲線である. ここで,\ AC0(0かつC0)または(A0かつC0)\ である. このとき,\ Ax²+Cy²+=0\ は楕円を表す. 2x²+3y²-1=0 AC=0A=0またはC=0\ である. このとき,\ Ax²+Cy²+=0\ は放物線を表す. 2x²-5y-1=0,3y²+x-1=0 ここで,\ AC0(A0かつC)または(A0かつC0)\ である. このとき,\ Ax²+Cy²+=0\ は双曲線を表す. 2x²-3y²=1,4x²-5y²=-1 2次曲線の判別式\ b²-4ac\ は,\ 例えば次のような特殊な場合の判定はできない. ll} 1点 x²+y²=0\ (\ x=y=0) なし x²+y²=-1 2直線 x²-y²=0\ (\ y=x) ₀ 実はこれらの特殊な場合を判定する第2の判別式もあるのだが,\ 高校範囲をわずかに超える.
