逆像法を用いると「方程式が少なくとも1つの実数解をもつ条件」に帰着することが多いので、以下を先に確認しておいてほしい。
分母をはらって整理すると$x$の方程式①が実数解をもつような$y$の値の集合}が求める値域である. 判別式を$D$とすると
分数関数は,\ グラフを元に値域を求めようとすると,\ 数III}の知識が必要になる(順像法).
また,\ 仮に数III}の知識を持っていたとしても,\ 多くの場合かなり面倒である.
しかし,\ 逆像法を用いると,\ 数II}までの範囲の知識で分数関数の値域を求められる場合がある.
逆像法の基本的な考え方は前項で示したとおりである.
求める値域は,\ すべての実数xの集合に対応するyの集合}である.
xが存在して初めて,\ それに対応するyが存在する.
逆にいえば,\ 値域に含まれるyには,\ 必ず対応する逆像xが存在しているはず}である.
結局,\ xの実数存在条件を考える}ことになる.
分母をはらうと,\ 見かけ上はxの2次方程式となる.
ここで,\ 一般に\ A= CB\ ⇔\ AB=C\ かつ\ B≠0}\ であることに注意してほしい.
本問の場合は(分母)≠0より,\ 単純に分母をはらってAB=Cとしても問題ない.
①はx^2\,の係数yが0のとき2次方程式にならないから,\ 場合分けして考えなければならない.
実際に①にy=0を代入してxを求めてみると,\ 対応する実数x=2が存在する}ことがわかる.
これは,\ y=0が値域に含まれる}ことを意味している.
y≠0のとき,\ xの2次方程式となるから,\ その実数存在条件は判別式でとらえられる.}
[1]\,のy=0と\,[2]\,の-12≦ y<0,\ 00かy<0かでグラフが上に凸か下に凸かが変わってしまう.
x^2\,の係数を正にしてから考える}ことで,\ 場合分けの必要がなくなる.
条件「少なくとも1つの実数解」は,\ 「2個(重解含む)」と「1個」に分けて考えるのが基本であった.
左図になる条件は,\ D≧0,\ 軸≧2,\ f(2)≧0である.
右図になる条件は,\ f(2)≦0である.
ただし,\ 本問の場合は常にf(2)=1≧0である.
よって,\ 右図になる可能性はない. \\[-5zh]
4y+1}{2y}≧2は,\ 両辺に2y^2\,を掛けて分母をはらう.
(4y+1)y≧4y^2\,より y≧0
これを安易に4y+1≧4yとしないよう注意する.\ 2y<0ならば不等号の向きが変わるからである.
2y^2\,(>0)を掛けて場合分けを避ける手法を習得してほしい.
ちなみに,\ 数III}の知識を用いてグラフを図示すると以下となり,\ (1)と(2)が瞬時にわかる.
