「方程式が少なくとも1つの実数解をもつ条件」は以下で確認。
y=x^2$上に2点P$(t,\ t^2)$,\ Q$(t+1,\ (t+1)^2)$をとる.
$t$が$-\,1≦ t≦0$の範囲を動くとき,\ 線分PQの通過領域を求めよ. \\
線分の通過領域 \\
線分の通過領域の問題は,\ 範囲がある分だけ直線の通過領域の問題より難易度が高くなる.
まず,\ 直線の通過領域を求めた後,\ 図形的な考察により領域を限定する解法を示す.
論理がやや甘くなるものの,\ 時間が限られている試験では現実的な手法である.
まず,\ $t$の方程式①が$-\,1≦ t≦0$の範囲に実数解をもつような$(x,\ y)$の集合}を求める.
2つの実数解(重解を含む)をもつ}とき 求める領域は,\ 下図の斜線部分.\ 境界線を含む.
まず,\ 直線PQ}の通過領域を逆像法で求める.\ 別に順像法でもよい.
直線の通過領域については前項で詳しく解説したので,\ ここでは簡潔な説明に留める.
2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)を通る直線の方程式 y-y_1=y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)
結局,\ 2次方程式の解の配置問題「-1≦ t≦0の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」となる.
[1]\ \ 解が2個(重解含む)となる条件は,\ D≧0,\ -\,1≦ 軸≦0,\ f(-\,1)≧0,\ f(0)≧0}\ である.
[2]\ \ 解が1個の条件は,\ 以下のような場合をまとめて\ f(0)f(1)≦0}\ である. \\
以上から,\ 直線y=(2t+1)x-t^2-tの通過領域が図の色塗り部分となることがわかる.
図の水色の色塗り部分が\,[1],\ ピンクの色塗り部分が\,[2]\,に対応する領域である.
さて,\ 求めるべきは線分PQ}の通過領域であった.
線分の両端点P,\ Q}の軌跡を境に直線PQ}の通過領域を制限すると,\ 線分PQ}の通過領域となる.}
数式で厳密に求める\,]
[4]\ \ $0
