実数解のとりうる値の範囲

a$を実数定数とする. 　(1)\ \ $x^2-2ax+2a^2-4=0$の実数解$x$のとりうる値の範囲を求めよ. 　(2)\ \ $0≦ a≦2\ のとき,\ x^2-2ax+2a^2-4=0$の実数解$x$のとりうる値の範囲を {実数解のとりうる値の範囲 \\ 　(1)\ \ $a$で整理すると$a$の方程式①が実数解をもつような$x$の値の集合}を求めればよい. \の知識を用いてグラフを元に求めることもできる(順像法). しかし,\ 相当に面倒である.\ 逆像法を用いると簡潔に済む. 実数aの値に対応してxの値が定まる. 逆にいえば,\ とりうる値の範囲内のxには,\ 必ず対応する逆像aが存在しているはず}である. よって,\ 逆像aが存在するか否かでxを分類していけば,\ 自ずとxの範囲が浮かび上がる. 例えば,\ x^2-2ax+2a^2-4=0はx=2を解にもつだろうか. x=2のとき2a^2-4a=0となり,\ 実数a=0,\ 2が存在する. a=0,\ 2のとき,\ x^2-2ax+2a^2-4=0はx=2を解にもつとわかる. では,\ x^2-2ax+2a^2-4=0はx=4を解にもつだろうか. x=4のとき2a^2-8a+12=0となるが,\ このaの2次方程式は実数解をもたない. つまり,\ どのような実数aに対しても,\ x^2-2ax+2a^2-4=0がx=4を解にもつことはない. 結局,\ 実数aが存在するようなxの値の範囲を求める}ことになる. xの範囲が,\ もう一方の文字aの実数存在性を追求して求まる}という構造が重要である. の範囲に実数解をもつようなxの値の集合}を求めればよい.$異なる2個の実数解(重解を含む)をもつ}とき$ \ 範囲に制限がかかると解の存在範囲(配置)問題となり, 単純にD≧0では済まなくなる. しかも,\ 「少なくとも1つの実数解をもつ」という最も厄介なタイプの解の存在範囲問題}となる. 条件「少なくとも1つの実数解」は,\ 「2個(重解含む)」と「1個」に分けて考えるのが基本であった. [1]\ \ 2個(重解含む)となる条件は,\ D≧0,\ 0≦ 軸≦2,\ f(0)≧0,\ f(2)≧0}である(下左図). [2]\ \ 00)で割ると　(x-2)(x+2)≦0 \ \ x≠2より\ \ -2≦ x<2　　　※\ (x-2)^2\,は正なので,\ 不等号の向きが変わらない. x=a±√{4-a^2}\,をax平面に図示すると以下の斜め楕円となる. aに範囲がなければ-2√2≦ x≦2√2,\ \ 0≦ a≦2ならば-2≦ x≦2√2\ が一目でわかる.