接線の方程式の導出は数Ⅲの微分法の知識を要するので、未学習ならば飛ばしてもかまいません。

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双曲線\ \bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ 上の点(x_0,\ y_0)における接線の方程式が\ \bunsuu{x_0x}{a^2}-\bunsuu{y_0y}{b^2}=1$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} \ \ \,\,$であることを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $双曲線\ \bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ \ の2焦点を\mathRM{F}(c,\ 0),\ \mathRM{F}'(-\,c,\ 0)\ (c0)\ と$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} \ \ \,\,$する.\ 双曲線上の点\mathRM{P}(p,\ q)\ (p0)があるとき,\ 線分\mathRM{FP},\ \mathRM{F}’\mathRM{P}の長さをa,\ c,\ p$ \\[.2zh] \hspace{.5zw} \ \ \,\,$で表せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $(2)の点\mathRM{P}における双曲線の接線と線分\mathRM{FP,\ F}’\mathRM{P}のなす角が等しいことを示せ.$ \\ {両辺をxで微分}すると \bunsuu{2}{a^2}x-\bunsuu{2}{b^2}y\cdot\bunsuu{dy}{dx}=0$ \\[.5zh]    $よって,\ y\neqq0\ のとき \textcolor{cyan}{\bunsuu{dy}{dx}=\bunsuu{b^2}{a^2}\cdot\bunsuu xy}$ \\[.5zh]    $ゆえに,\ 接線の方程式は y-y_0=\textcolor{cyan}{\bunsuu{b^2x_0}{a^2y_0}}(x-x_0)$ \\[.5zh]    $\textcolor{red}{\bunsuu{{x_0}^2}{a^2}-\bunsuu{{y_0}^2}{b^2}=1}\ にも注意して整理すると \textcolor{red}{\bunsuu{x_0x}{a^2}-\bunsuu{y_0y}{b^2}=1}$ \\[.5zh]    $これは,\ (x_0,\ y_0)=(\pm\,a,\ 0)における接線x=\pm\,a\,も含む.$ \\\\ \centerline{$\therefore \bm{\bunsuu{x_0x}{a^2}-\bunsuu{y_0y}{b^2}=1}$} \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} y=の形に変形せずとも,\ \bm{陰関数の微分}の扱いでy’\,を求められる. \\[.2zh] y^2\,は直接xで微分できないので,\ \bunsuu{dy^2}{dx}=\bunsuu{dy^2}{dy}\cdot\bunsuu{dy}{dx}=2y\cdot\bunsuu{dy}{dx}\ とする. \\[.5zh] 後は(分母)\neqq0に注意して\,\bunsuu{dy}{dx}\,を求め,\ さらに接線の方程式を求める. \\[.5zh] y-y_0=\bunsuu{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)\ の分母を払うと a^2y_0y-a^2{y_0}^2=b^2x_0x-b^2{x_0}^2 \\[.2zh] よって b^2x_0x-a^2y_0y=b^2x_0^2-a^2y_0^2   ここで\ \ \bunsuu{{x_0}^2}{a^2}-\bunsuu{{y_0}^2}{b^2}=1\ \ より\ \ b^2x_0^2-a^2y_0^2=a^2b^2 \\[.8zh] ゆえに b^2x_0x-a^2y_0y=a^2b^2 より \bunsuu{x_0x}{a^2}-\bunsuu{y_0y}{b^2}=1 \\[.8zh] y_0=0,\ つまり頂点(\pm\,a,\ 0)における接線x=\pm\,aを含むことにも注意して最終的な答えとする. \\[1zh] 双曲線の接線の公式はよく利用するので暗記必須である. \\[.2zh] 双曲線の方程式において\ \bm{x^2\ →\ x_0x,\ \ y^2\ →\ y_0y}\ とするだけである. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\ \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{双曲線\ \bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ 上の点(x_0,\ y_0)における接線の方程式}}$} \\[.1zh] \centerline{\dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{{\Large $\bm{\textcolor{red}{\bunsuu{x_0x}{a^2}-\bunsuu{y_0y}{b^2}=1}}$}}} \\\\\\\\  (2)\ \ $以下,\ \textcolor{cyan}{\bunsuu{p^2}{a^2}-\bunsuu{q^2}{b^2}=1,\ \ c^2=a^2+b^2}\ \ を利用する.$ \\[1zh]    $\textcolor{red}{\mathRM{FP}^2}=(p-c)^2+q^2=(p-c)^2+\textcolor{cyan}{b^2\left(\bunsuu{p^2}{a^2}-1\right)}=\left(1+\bunsuu{b^2}{a^2}\right)p^2-2pc+\textcolor{cyan}{c^2-b^2}$ \\[.5zh]    $\phantom{\mathRM{FP}^2}=\bunsuu{c^2}{a^2}p^2-2pc+a^2=\textcolor{red}{\left(\bunsuu cap-a\right)^2}$ \\[1.5zh]    $ここで,\ p\geqq aより \textcolor{red}{\bunsuu cap-a}\geqq\bunsuu ca\cdot a-a=c-a\ \textcolor{red}{\geqq\,0}$ \\[1.5zh]    $\textcolor{red}{\mathRM{F}’\mathRM{P}^2}=(p+c)^2+q^2=(p+c)^2+\textcolor{cyan}{b^2\left(\bunsuu{p^2}{a^2}-1\right)}=\left(1+\bunsuu{b^2}{a^2}\right)p^2+2pc+\textcolor{cyan}{c^2-b^2}$ \\[.5zh]    $\phantom{\mathRM{F}’\mathRM{P}^2}=\bunsuu{c^2}{a^2}p^2+2pc+a^2=\textcolor{red}{\left(\bunsuu cap+a\right)^2}$ \\[1.5zh]    $明らかに\ \bunsuu cap+a\geqq0\ なので \bm{\mathRM{F}’\mathRM{P}=\bunsuu cap+あ}$ \\\\\\  \betu\ \ $\textcolor{red}{\mathRM{FP}^2-\mathRM{F}’\mathRM{P}^2}=(p-c)^2+q^2-(p+c)^2-q^2=\textcolor{red}{-\,4pc} \cdots\cdots\maru1$ \\[.5zh]    $双曲線の定義より \textcolor{red}{\mathRM{FP}-\mathRM{F}’\mathRM{P}=-\,2a}  \ \,\cdots\cdots\maru2$ \\[.5zh]    $\maru1,\ \maru2より    \textcolor{red}{\mathRM{FP}+\mathRM{F}’\mathRM{P}=\bunsuu{2pc}{a}}  \ \ \,\cdots\cdots\maru3$ \\[1.5zh] \centerline{$\therefore \maru2,\ \maru3より \bm{\mathRM{FP=\bunsuu cap-a},\ \ \mathRM{F}’\mathRM{P}=\bunsuu cap+a}$} \\\\[1zh] \bm{双曲線上の点と焦点との距離が簡潔な形で表せる}という\bm{2次曲線特有の変形}が応用上重要である. \\[.2zh] (p,\ q)が双曲線上にある条件\ \bunsuu{p^2}{a^2}-\bunsuu{q^2}{b^2}=1\ と焦点c^2=a^2+b^2\,を利用して巧みに変形する. \\[.8zh] 「qを消去\ →\ pで整理\ →\ bを消去\ →\ 因数分解」という流れである. \\[.2zh] 一般に\ \ruizyoukon{(A)^2}=\zettaiti{A}\ であり,\ この絶対値をはずすには\ \bm{\bunsuu cap-a\,の符号}を調べる必要がある. \\[.6zh] p0より,\ 点\mathRM{P}は双曲線の右側の部分の上にある. \\[.2zh] よって,\ 頂点(a,\ 0)と焦点(c,\ 0)の位置関係も考慮すると,\ a\leqq p\ と\ ac\ が成立する. \\[.6zh] これを元に\ \bunsuu cap-a\geqq0\ がわかるから,\ \mathRM{FP}=\zettaiti{\bunsuu {c\vphantom{b}}{a}p-a}=\bunsuu cap-a\ とできる. \\[1.5zh] 本解は自然だが,\ 推奨されるのは簡潔に済む別解である. \\[.2zh] \bm{距離の2乗の差と双曲線の定義を連立}し,\ さらに\bm{距離の和と差を連立}する. \\[.2zh] 双曲線の定義は\ \zettaiti{\mathRM{FP}-\mathRM{F}’\mathRM{P}}=2a\ だが,\ 絶対値をはずすと\ \mathRM{FP}-\mathRM{F}’\mathRM{P}=\pm\,2a\ となる. \\[.2zh] さらに,\ 双曲線の右側の部分では\ \mathRM{FP}\mathRM{F}’\mathRM{P}\ であることに注意すると\ \mathRM{FP}-\mathRM{F}’\mathRM{P}=-\,2a\ となる. \\[.2zh] \mathRM{FP^2-F}’\mathRM{P}^2=\mathRM{(FP+F}’\mathRM{P)(FP-F}’\mathRM{P})=(\mathRM{FP}+\mathRM{F}’\mathRM{P})(-\,2a)=-4pc\ として\ \mathRM{FP}+\mathRM{F}’\mathRM{P}\ が導かれる.  (3)\ \ $接線とx軸との交点を\mathRM{Q}とする.$ \\[1zh]    $点\mathRM{P}(p,\ q)における接線\ \textcolor[named]{ForestGreen}{\bunsuu{p}{a^2}x-\bunsuu{q}{b^2}y=1}\ より,\ \mathRM{Q}のx座標は\ x=\bunsuu{a^2}{p}\ である.$ \\[.5zh]    $よって \textcolor{cyan}{\mathRM{FQ}=c-\bunsuu{a^2}{p},\ \ \mathRM{F}’\mathRM{Q}=c+\bunsuu{a^2}{p}}$ \\[1zh]    $ここで \textcolor{red}{\mathRM{FP:F}’\mathRM{P}}=\bunsuu{cp-a^2}{a}:\bunsuu{cp+a^2}{a}=\textcolor{red}{(cp-a^2):(cp+a^2)}$ \\[.5zh]    $また  \textcolor{red}{\mathRM{FQ:F}’\mathRM{Q}}=c-\bunsuu{a^2}{p}:c+\bunsuu{a^2}{p}=\bunsuu{cp-a^2}{p}:\bunsuu{cp+a^2}{p}=\textcolor{red}{(cp-a^2):(cp+a^2)}$ \\[1zh]    $\textcolor{red}{\mathRM{FP:F}’\mathRM{P=FQ:F}’\mathRM{Q}}より,\ 双曲線の接線は\angle\mathRM{FPF}’を2等分する.$ \\\\ (2)を利用するため,\ \triangle\mathRM{FPF}’に着目する. \\[.2zh] もし\angle\mathRM{FPQ}=\angle\mathRM{F}’\mathRM{PQ}\ ならば,\ \bm{内角の2等分線と辺の比の関係\ \mathRM{FP:F}’\mathRM{P}=\mathRM{FQ:F}’\mathRM{Q}}\ が成り立つ. \\[.2zh] つまり,\ 接線が\angle\mathRM{FPF}’の2等分線であることと\ \mathRM{FP:F}’\mathRM{P}=\mathRM{FQ:F}’\mathRM{Q}\ が成り立つことは同値である. \\[.2zh] 接線の方程式を用いて点\mathRM{Q}のx座標を求め,\ 長さの比を計算すればよい. \\[1zh] \bm{一方の焦点から発射した光は,\ 他方の焦点から発射された方向に双曲線面で反射する.} \\[.2zh] 逆に,\ \bm{他方の焦点に向かって入射してきた光は,\ 一方の焦点の方向に双曲線面で反射する.}