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双曲線\ \bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ 上の点\mathRM{P}における接線と漸近線の交点を\mathRM{Q,\ R}$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$とする.\ また,\ 原点を\mathRM{O}とする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $点\mathRM{P}が線分\mathRM{QR}の中点であることを示せ.$ \\[.75zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\triangle\mathRM{OQR}\ の面積が点\mathRM{P}の位置によらず一定値をとることを示せ.$ \\[.75zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $\mathRM{OQ\cdot OR}\ が点\mathRM{P}の位置によらず一定値をとることを示せ.$ \\  (1)\ \ $点\mathRM{P}の座標を(p,\ q)とすると,\ \textcolor{cyan}{\bunsuu{p^2}{a^2}-\bunsuu{q^2}{b^2}=1}\ \ \cdots\cdots\maru1\ が成立する.$ \\[.5zh]    $点\mathRM{P}における接線の方程式は \textcolor{red}{\bunsuu{p}{a^2}x-\bunsuu{q}{b^2}y=1} \cdots\cdots\maru2$ \\\\[1zh]    $\maru2と漸近線y=\bunsuu baxとの交点\mathRM{Q}の座標は \ \ \,\textcolor[named]{ForestGreen}{\left(\bunsuu{a^2b}{bp-aq},\ \ \bunsuu{ab^2}{bp-aq}\right)}$ \\[.5zh]    $\maru2と漸近線y=-\bunsuu baxとの交点\mathRM{R}の座標は \textcolor[named]{ForestGreen}{\left(\bunsuu{a^2b}{bp+aq},\ \ -\bunsuu{ab^2}{bp+aq}\right)}$ \\\\[1zh]    $線分\mathRM{QR}の中点は$ \\[.5zh] \centerline{$\maru1より \textcolor{red}{\left(\bunsuu{\bunsuu{a^2b}{bp-aq}+\bunsuu{a^2b}{bp+aq}}{2},\ \ \bunsuu{\bunsuu{ab^2}{bp-aq}-\bunsuu{ab^2}{bp+aq}}{2}\right)=(p,\ q)}$} \\\\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{点\mathRM{P}は線分\mathRM{QR}の中点である.}$} \\\\[.5zh] 特別な発想は必要ない.\ 点\mathRM{P}を文字でおいた後,\ 条件を数式にして淡々と計算するだけである. \\[.2zh] 曲線上の点を文字でおいたとき,\ \bm{点が曲線上にある条件}が盲点になりやすいので注意する(\maru1). \\[.2zh] 双曲線\ \bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ 上の点(x_0,\ y_0)における接線の方程式は \bunsuu{x_0x}{a^2}-\bunsuu{y_0y}{b^2}=1 \\[1.5zh] y=\bunsuu bax\,を\maru2に代入すると \bunsuu{p}{a^2}x-\bunsuu{q}{ab}y=1   分母を払うと bpx-aqx=a^2b \\[.8zh] よって x=\bunsuu{a^2b}{bp-aq}    また y=\bunsuu bax=\bunsuu{ab^2}{bp-aq}   (\mathRM{R}の座標も同様) \\\\ 以下,\ \maru1より\ \bm{b^2p^2-a^2q^2=a^2b^2}\ が成立することに注意する. \\[.5zh] \bunsuu{a^2b}{bp-aq}+\bunsuu{a^2b}{bp+aq}=a^2b\cdot\bunsuu{(bp+aq)+(bp-aq)}{(bp-aq)(bp+aq)}=a^2b\cdot\bunsuu{2bp}{b^2p^2-a^2q^2}=a^2b\cdot\bunsuu{2bp}{a^2b^2}=2p \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  (2)\ \ $\triangle\mathRM{OQR}=\textcolor{red}{\bunsuu12\zettaiti{\bunsuu{a^2b}{bp-aq}\left(-\bunsuu{ab^2}{bp+aq}\right)-\bunsuu{ab^2}{bp-aq}\cdot\bunsuu{a^2b}{bp+aq}}}$ \\[.8zh]    $\phantom{\triangle\mathRM{OQR}}=\bunsuu12\zettaiti{\bunsuu{-\,2a^3b^3}{b^2p^2-a^2q^2}}=\bunsuu12\zettaiti{\bunsuu{-\,2a^3b^3}{a^2b^2}}=\bunsuu12\cdot2ab=\textcolor{red}{ab}$ \\\\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{\triangle\mathRM{OQR}の面積は一定値abをとる.}$} \\\\\\[1zh]  (3)\ \ $\mathRM{OQ\cdot OR}=\textcolor{red}{\ruizyoukon{\left(\bunsuu{a^2b}{bp-aq}\right)^2+\left(\bunsuu{ab^2}{bp-aq}\right)^2}\times\ruizyoukon{\left(\bunsuu{a^2b}{bp+aq}\right)^2+\left(-\bunsuu{ab^2}{bp+aq}\right)^2}}$ \\[.5zh]    $\phantom{\mathRM{OQ\cdot OR}}=\ruizyoukon{\bunsuu{a^4b^2+a^2b^4}{(bp-aq)^2}}\times\ruizyoukon{\bunsuu{a^4b^2+a^2b^4}{(bp+aq)^2}}=\ruizyoukon{\bunsuu{(a^4b^2+a^2b^4)^2}{(b^2p^2-a^2q^2)^2}}$ \\[.5zh]    $\phantom{\mathRM{OQ\cdot OR}}=\bunsuu{a^4b^2+a^2b^4}{b^2p^2-a^2q^2}=\bunsuu{a^2b^2(a^2+b^2)}{a^2b^2}=\textcolor{red}{a^2+b^2}$ \\\\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{\mathRM{OQ\cdot OR}は一定値\ a^2+b^2\ をとる.}$} \\\\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} \bm{点\mathRM{P}の座標(p,\ q)を含まない式で表される}ことを示せば,\ 点\mathRM{P}の位置によらないといえる. \\[.2zh] (2),\ (3)ともに単純に計算していけば自然にp,\ qが消えてa,\ bのみで表される. \\[1zh] 原点\mathRM{O}と他の2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)が作る三角形の面積は \bm{\bunsuu12\zettaiti{x_1y_2-y_1x_2}} (暗記必須) \\[.8zh] \maru1の\ b^2p^2-a^2q^2=a^2b^2\ も利用してp,\ qを消去する. \\[1zh] (3)\ \ 分母は次のように考えると\maru1を利用してp,\ qが消去できる.