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双曲線$\bunsuu{x^2}{4}-y^2=1$と次の直線の共有点の個数を求めよ.\ ただし,\ $k,\ m$は定数とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $y=2x+k$          (2)\ \ $y=m\left(x-\bunsuu32\right)$ \\  (1)\ \ $y=2x+kを\ x^2-4y^2=4\ に代入して整理すると \textcolor{magenta}{15x^2+16kx+4k^2+4=0}$ \\[.5zh]    $判別式\ \textcolor{red}{\bunsuu D4}=(8k)^2-15(4k^2+4)=4k^2-60=\textcolor{red}{4(k^2-15)}$ \\\\[1zh] 本問は,\ \bm{傾きが2で一定}の直線のy切片kを変化させたときの共有点の個数を求める問題である. \\[.2zh] \bm{図形的な共有点の個数は,\ 数式上では連立したときの実数解の個数}である. \\[.2zh] 連立するとxの2次方程式になるから,\ その実数解の個数は判別式でとらえられる. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  (2)\ \ $y=mx-\bunsuu32mを\ x^2-4y^2=4\ に代入して整理すると$ \\[.5zh] \centerline{$\textcolor{magenta}{(1-4m^2)x^2+12m^2x-9m^2-4=0}$} \\\\[1zh]    [1]\ \ $\textcolor{magenta}{1-4m^2=0},\ つまり\ \textcolor{red}{m=\pm\bunsuu12}\ のとき 3x-\bunsuu{25}{4}=0\ より \textcolor{red}{1個}$ \\\\\\    [2]\ \ $\textcolor{magenta}{1-4m^2\neqq0},\ つまり\ \textcolor{red}{m\neqq\pm\bunsuu12}\ のとき$ \\[1zh]      $判別式\ \textcolor{magenta}{\bunsuu D4}=(6m^2)^2-(1-4m^2)(-\,9m^2-4)=\textcolor{magenta}{-\,7m^2+4}$ \\[1zh]   本問は,\ 常に\left(\bunsuu32,\ 0\right)を通る直線の傾きmを変化させたとき共有点の個数を求める問題である. \\[.8zh] (1)と同様,\ 連立してできる方程式の実数解の個数を調べれば,\ それが共有点の個数である. \\[1zh] しかし,\ (1)とは異なり,\ x^2\,の係数に文字定数mが含まれる. \\[.2zh] よって,\ \bm{x^2\,の係数が0になる場合を分ける}必要がある. \\[.2zh] このとき,\ 1次方程式となって判別式が利用できないからである. \\[.2zh] 1-4m^2=0\,のときは単純に代入すると容易に解1個が求まる.\ これは共有点1個を意味している. \\[.2zh] 1-4m^2\neqq0\,のときは2次方程式であるから,\ その実数解の個数は判別式でとらえればよい. \\[.2zh] [1]と[2]の結果をまとめて最終的な答えとする. \\[1zh] 数式から導かれた結果を図形的に確認する.\ 簡単のため\,m\geqq0\,で考える.\ m0\,でも同じである. \\[.2zh] まず,\ 双曲線\ \bunsuu{x^2}{4}-y^2=1\ の\bm{漸近線}は\ \bunsuu x2\pm y=0,\ つまり\ \bm{y=\pm\bunsuu12x}\ である. \\[.8zh] 点\left(\bunsuu32,\ 0\right)を中心に傾きを変えると,\ \bm{(傾きm)=(漸近線の傾き)が共有点の個数の境目になる.} \\[.8zh] このときと接するときに共有点が1個になるわけである. \\[.2zh] m=\bunsuu12\,の一瞬だけ共有点が1個でその前後は2個になるが,\ 共有点の位置が大きく異なる. \\[.8zh] m\bunsuu12\,のときは\bm{双曲線の左側の部分と右側の部分でそれぞれ1個の共有点をもつ.} \\[.8zh] \bunsuu12m\,のときは\bm{双曲線の右側の部分のみで2個の共有点をもつ.}