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放物線$y=x^2$上の2点A,\ Bにおける接線の交点をPとする.\ 常に$\angle\mathRM{APB}=\bunsuu{\pi}{4}$を \\[.5zh] \hspace{.5zw}満たすように2点A,\ Bが動くとき,\ 点Pの軌跡を求めよ. \\   軌跡上の動点をP$(X,\ Y)$,\ 2点A,\ Bの座標を$(a,\ a^2),\ (b,\ b^2)\ \ (ab)$とおく. \\[.5zh]   $y’=2x$より,\ 点A,\ Bにおける接線の方程式は  $\textcolor[named]{ForestGreen}{y=2ax-a^2,\ \ y=2bx-b^2}$ \\[.5zh]   よって \textcolor{red}{P$(X,\ Y)=\left(\bunsuu{a+b}{2},\ \ ab\right)$} より $a+b=2X,\ \ ab=Y$ \\[.5zh]   $a,\ bは2次方程式\ t^2-(a+b)t+ab=0,\ つまり\ \textcolor{red}{t^2-2Xt+Y=0}$の2解である. \\[.2zh]   $よって 判別式\ \bunsuu D4=X^2-Y0 より \textcolor{red}{YX^2} \cdots\cdots\maru1$ \\\\   \textcolor{magenta}{$x軸正方向からの$\ \scalebox{1}[.97]{\bekutoru{PA},\ \bekutoru{PB}}\ の$反時計回りの回転角を\,\alpha,\ \beta$}\ とする. \\[.5zh]   $\textcolor[named]{ForestGreen}{\tan\alpha=2a,\ \ \tan\beta=2b} より \textcolor{red}{\tan(\alpha-\beta)=\bunsuu{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}}=\bunsuu{2a-2b}{1+4ab}=\textcolor{red}{1}$ \\[.5zh]   $よって \textcolor{red}{2(a-b)=1+4ab} \cdots\cdots\maru2$ \\[.5zh]   $\maru2の両辺を2乗すると 4(a-b)^2=(1+4ab)^2$ \\[.5zh]   $よって 4\{(a+b)^2-4ab\}=(1+4ab)^2 より 4(4X^2-4Y)=(1+4Y)^2$ \\[.5zh]   $ゆえに \textcolor{red}{16X^2-16Y^2-24Y=1} より \bunsuu{X^2}{\bunsuu12}-\bunsuu{\left(Y+\bunsuu34\right)^2}{\bunsuu12}=-\,1$ \\\\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{双曲線\ \bunsuu{x^2}{\bunsuu12}-\bunsuu{\left(y+\bunsuu34\right)^2}{\bunsuu12}=-\,1\ の\ y-\bunsuu14\ の部分.} (\maru1を満たす)$} \\\\\\ \bm{ある点が動くにつれてできる軌跡(連動点の軌跡)問題}である. \\[.2zh] その基本通り,\ まず途中の動点と軌跡上の動点を文字で設定する. \\[.2zh] 本問では,\ 後の思考量を減らすために\mathRM{A,\ B}のx座標に\bm{大小関係も設定}しておく. \\[.2zh] さらに\bm{条件をすべて数式で表現した後,\ 途中の動点の文字を消去する}と軌跡の方程式が得られる. \\[1zh] 2ax-a^2=2bx-b^2 2(a-b)x=a^2-b^2 2(a-b)x=(a+b)(a-b) x=\bunsuu{a+b}{2} \\[.8zh] (X,\ Y)が接線の交点である条件X=\bunsuu{a+b}{2},\ Y=ab,\ および角度の条件式からa,\ bを消去する. \\[.8zh] そうして求まるのが点(X,\ Y)が満たすべき条件であり,\ 点\mathRM{P}の軌跡に他ならない. \\[1zh] ここで,\ 単純な軌跡問題とは異なり,\ 本問はX,\ Yが\bm{a,\ bの対称式}となる特殊な場合である. \\[.2zh] この場合,\ \bm{a,\ bの実数存在条件}(隠れた条件)を確認しなければならない. \\[.2zh] 実数a,\ bに対応する実数X,\ Yは必ず存在するが,\ その逆はいえないからである. \\[.2zh] つまり,\ 常に実数X,\ Yに対応する実数a,\ bが存在する保証はない. \\[.2zh] しかも本問の場合は2つの異なる実数a,\ bが存在していなければならない. \\[.2zh] \bm{基本対称式をなす2変数の実数存在条件は2次方程式を作成して求める}ことになる. \\[.2zh] 2解がa,\ bである2次方程式の1つは\ (t-a)(t-b)=0\ である. \\[.2zh] 展開すると\ t^2-(a+b)t+ab=0\ で,\ これが2つの異なる実数解をもてばよいからD0とする. \\[.2zh] 本問の場合は\,yx^2\,というほぼ自明な条件になり,\ 最終的な結論には影響しない. \\[1zh] さて,\ \bm{座標平面上のなす角は\,\tan\,の加法定理でとらえる}のが一般的である. \\[.2zh] このとき,\ \bm{交点を始点とするベクトルのx軸正方向からの回転角(反時計回りを正)を設定する}. \\[.2zh] すると,\ 条件は\ \alpha-\beta=\bunsuu{\pi}{4}\ となる(下図).\ つまり,\ \tan(\alpha-\beta)=1\ である. \\[.8zh] これに加法定理を適用した後,\ \bm{(なす角の\tan)=(直線の傾き)}\ によってa,\ bの条件に変換できる. \\[.2zh] さらに\maru2をX,\ Yの条件に変換する.\ a-bを基本対称式a+bとabで表すには2乗を要する. \\[.2zh] しかし,\ 両辺の2乗は一般には同値な変形ではない. \\[.2zh] \bm{同値な変形とするには両辺の符号が一致していなければならない.} \\[.2zh] ここでa,\ bに大小関係を設定したことが生きてくる. \\[.2zh] (左辺)=2(a-b)0\ より,\ (右辺)=1+4ab0\ を加えることで両辺の2乗が同値な変形になる. \\[.2zh] これも含めて条件をX,\ Yで表せばよい.\ \ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab\ はよくある変形である. \\[.2zh] Y^2\,の係数が-なので双曲線である.\ 平方完成した後右辺を-\,1にすると標準形になる. \\[.5zh] 16X^2-16Y^2-24Y=1 16X^2-16\left(Y+\bunsuu34\right)^2=-\,8 2X^2-2\left(Y+\bunsuu34\right)^2=-\,1 \\[.8zh] y-\bunsuu14\,も考慮し,\ \bunsuu{x^2}{\bunsuu12}-\bunsuu{y^2}{\bunsuu12}=-\,1\ をy軸方向に-\bunsuu34\,平行移動した双曲線の下側の部分とわかる. \\[1zh] ちなみに,\ 双曲線の上側の部分は\angle\mathRM{APB}=\bunsuu34\pi,\ つまり\,\tan(\alpha-\beta)=-\,1\ を満たす点の軌跡である.