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座標空間に点\mathRM{C}(1,\ 0,\ 1)を中心とする半径1の球がある.\ 点\mathRM{A}(0,\ 0,\ a)\ (a1)を通り,\ 球と接する直線とxy平面の交点\mathRM{P}の軌跡を求めよ.$ \\   $球面の方程式は \textcolor{cyan}{(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=1} \cdots\cdots\maru1$ \\[1zh]   $\mathRM{P}の座標を(X,\ Y,\ 0),\ 直線\mathRM{AP}上の点を\mathRM{Q}とすると$ \\[.2zh]   $整理すると   \textcolor{cyan}{(X^2+Y^2+a^2)t^2-2\{X+a(a-1)\}t+(a-1)^2=0}$ \\[1zh]   $判別式 \textcolor{red}{\bunsuu{D}{4}}=\{X+a(a-1)\}^2-(X^2+Y^2+a^2)(a-1)^2=\textcolor{red}{0}$ \\[.8zh]   $整理すると   \textcolor{red}{a(a-2)X^2-2a(a-1)X+(a-1)^2Y^2=0} \cdots\cdots\maru2$ \\\\[1zh]   \bm{a2}\ のとき \bm{放物線\ \ y^2=4x} \\[.5zh] \bm{a2}\ のとき \bm{楕円 \ \ \bunsuu{\left(x-\bunsuu{a-1}{a-2}\right)^2}{\left(\bunsuu{a-1}{a-2}\right)^2}+\bunsuu{y^2}{\bunsuu{a}{a-2}}=1} \\\\[-.5zh] \bm{1a2}\ のとき \bm{双曲線\ \ \bunsuu{\left(x+\bunsuu{a-1}{2-a}\right)^2}{\left(\bunsuu{a-1}{2-a}\right)^2}-\bunsuu{y^2}{\bunsuu{a}{2-a}}=1} 条件を整理すると次の2点である. \\[.2zh] \bm{「点\mathRM{P}がxy平面上にある」「中心(1,\ 0,\ 1),\ 半径1の球と直線\mathRM{AP}が点\mathRM{Q}で接する」} \\[.2zh] この条件をどのように数式で表現するかがポイントである. \\[.2zh] 複数の方法が考えられるが,\ 最も自然で標準的なものを示した. \\[1zh] まず,\ \mathRM{P}を(X,\ Y,\ 0)とおくことで点\mathRM{P}がxy平面上にある条件を表現できる. \\[.2zh] 次に,\ 直線\mathRM{AP}の方程式を作成する.\ 空間の直線はベクトルを用いて表現できる. \\[.2zh] 後は,\ \bm{(直線と球が接する)\ \Longleftrightarrow\ (連立して重解)}より,\ D=0とすればよい. \\[.2zh] こうして導かれたX,\ Yの方程式が条件を満たす点(X,\ Y)の集合,\ すなわち点\mathRM{P}の軌跡である. \\\\ X,\ Yの2次方程式が表す曲線の形状はaの値によって変化するので場合を分ける. \\[.2zh] 前提として,\ a1より,\ Y^2\,の係数について常に\ (a-1)^20\ である. \\[1zh] a=2のときは\,X^2\,の係数\,a(a-2)=0\,より,\ X^2\,の項が消えて放物線になる. \\[1zh] a2のとき,\ X^2\,の係数\,a(a-2)0\,より,\ 楕円になる. \\[.2zh] Xについて平方完成した後,\ 右辺を1にして標準形にする. \\[1zh] 1a2のとき,\ X^2\,の係数\,a(a-2)0\,より,\ 双曲線になる. \\[.2zh] X^2\,の係数が正になるようにあらかじめ\maru2の両辺に-\,1を掛けてから標準形に変形するとよい. \\[.5zh] a(2-a)X^2+2a(a-1)X-(a-1)^2Y^2=0 \\[.2zh] a(2-a)\left(X+\bunsuu{a-1}{2-a}\right)^2-(a-1)^2Y^2=\bunsuu{a(a-1)^2}{2-a} \\\\ 本問の結果は,\ \bm{点\mathRM{A}に点光源をおいたときにできる球影の形状}を示唆している(下図). \\[.2zh] 球の上部に点光源があるとき,\ 球影は楕円になる. \\[.2zh] 接線がx軸と平行なる位置に点光源があるとき,\ 球影は放物線になる. \\[.2zh] 点光源の位置がさらに低くなると,\ 球影は双曲線の一方になる. \\[.2zh] 影にはならないが,\ 軌跡という意味では双曲線のもう一方も条件を満たす. \\[.2zh] ちなみに,\ 求まった楕円・放物線・双曲線の焦点の座標を計算すると,\ いずれも一方が(1,\ 0)になる. \\[.2zh] これは,\ \bm{球影の楕円・放物線・双曲線の焦点となるのは球との接点である}ことを意味している. 円錐の頂点に点光源があり,\ その直下に円錐に内接する球がある. \\[.2zh] 先の問題では点光源の位置を変化させたが,\ 代わりに球影を考える平面の角度を変化させる. \\[.2zh] すると,\ 楕円・放物線・双曲線のいずれかになるわけである. \\[.2zh] \bm{円錐の母線と平行な平面で切断したときの球影が放物線}である.