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f(k)=\dint{1}{e}\zettaiti{\log x-k}\,dx\ の最小値を求めよ.$ \\ 絶対値付き関数を積分するときは,\ まず場合分けをして絶対値をはずさなければならない. \\[.2zh] もちろん,\ 「中身が正ならばそのまま,\ 負ならば-をつけてはずす」という基本に従う. \\[.2zh] このように,\ 本問では\,\bm{x=e^k\,を境に関数が変化}する(y=\log x\,とy=k\,の上下関係が入れ替わる). \\[.2zh] これを踏まえて区間1\leqq x\leqq eで積分する. \\[.2zh] つまり,\ \bm{上下関係が変化するx=e^k\,と区間1\leqq x\leqq eの位置関係で更なる場合分けを要する.} \\[.2zh] 結局,\ e^k\leqq1,\ 1\leqq e^k\leqq e,\ e\leqq e^k\ (e^k\,が区間の左,\ 中,\ 右)の3つに場合分けする. \\[.2zh] そして,\ \bm{e^k\,が区間内にあるとき,\ 積分区間を分割して積分計算}することになるのである. \\[.2zh] グラフで上下関係を考慮し,\ 面積でとらえるとわかりやすいだろう. \\[1zh] 定積分計算では,\ \dint{}{}\log x\,dx=x\log x-x+C\,を公式として用いた.\ 正攻法は部分積分である. \\[.8zh]  \dint{}{}\log x\,dx=\dint{}{}(x)’\log x\,dx=x\log x-\dint{}{}x\cdot\bunsuu1x\,dx=x\log x-x+C \\\\ e\kinzi2.71\,より,\ f(k)は,\ k\leqq0のときは傾きが負の直線,\ 1\leqq kのときは傾きが正の直線である. \\[.2zh] よって,\ 0\leqq k\leqq1のときの最小を考えればよく,\ 微分計算して増減表を書く. \\[.2zh] 最小値を求めるとき,\ e^k=e^{\log\frac{1+e}{2}}=\bunsuu{1+e}{2}\ と変形できない学生が非常に多い. \\[.6zh] 一般に,\ \bm{a^{\log _aM}=M}\ が成立する.\ これは対数の定義\ a^p=M\ \Longleftrightarrow\ p=\log_a M\ そのものである. \\[1zh] なお,\ k<0,\ 0\leqq k\leqq1,\ 1