(1)の表で「-π/2→0」となっていますが、「π/2→0」の誤りですm(_ _)m
(6)の結果ではlimが抜けておりますm(_ _)m

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式\ \sin\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta\ を考慮し,\ x=\bunsuu{\pi}{2}-t\ と置換する. \\[.5zh] 定積分は変数によらないから,\ \dint{0}{\frac{\pi}{2}}\cos^nt\,dt=\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,dx=J_n\ である. \bm{部分積分}によって積分漸化式が導ける.\ \sin x\,を1個分離して微分形とみなせばよい. \\[.2zh] \cos^2x\,を\,\sin\,に変換した後,\ I_n\,で表して整理する. I_n=\bunsuu{n-1}{n}I_{n-2}\ は,\ \bm{階比数列型の漸化式}である. \\[.5zh] よって,\ 繰り返し適用していくことで\,I_n\,が求められる. \\[.2zh] ただし,\ 1個飛ばしの漸化式であるため,\ \bm{nが偶数か奇数かで場合分け}が必要である. \\[.2zh] わかりにくい場合は具体的な数値で考えるとよい.\ 例として,\ n=6,\ n=7の場合を考える. \\[.2zh] n\geqq2\ であるから,\ 分母や分子が0になるところまでは繰り下げない. \\[.2zh] 最終的にI_0,\ I_1\,に帰着するため,\ あらかじめ求めておいたわけである. \\[.2zh] 大学では二重階乗を導入する.\ 例えば,\ 6\,!!=6\cdot4\cdot2,\ \ 7\,!!=7\cdot5\cdot3\cdot1\ である. \\[.2zh] 本問の結果は暗記しておくと検算に役立つ.\ 例えば,\ \dint{0}{\frac{\pi}{2}}\cos^6x\,dx=\bunsuu{5\,!!}{6\,!!}\cdot\bunsuu{\pi}{2}\ である. \\\\ nを自然数とし,\ 偶数を2n\,(=2,\ 4,\ \cdots),\ 奇数を2n+1\,(=3,\ 5,\ \cdots)\,で表現することもできる. \\[.2zh] 二重階乗 (3)でI_n\,を求めたが,\ 1つおきの漸化式なので,\ nが偶数か奇数かで場合分けする必要があった. \\[.2zh] 積I_nI_{n-1}\ ならば,\ nの偶奇によらず,\ 式が一致する. \\[.2zh] まず,\ 漸化式を変形する.\ I_{n-2}\,を分母にもっていくことになるため,\ 0にならないことを確認する. \\[.2zh] I_0,\ I_1\,が正であることと漸化式の形から,\ すべてのnについて\,I_n>0\ であることがわかる. \\[.2zh] これらの式の\bm{両辺をすべて掛け合わせて約分する}と,\ nI_nI_{n-1}\ が求まる. \\[.2zh] 使用した漸化式は\,n\geqq2\,で成り立つものであるから,\ n=1のときを別個に確認しておいた. \\\\ 本問の処理は,\ 階差数列型漸化式\ a_{n+1}-a_n=f(n)\ から一般項\,a_n\,を導く場合と同様の発想である. \\[.2zh] この漸化式からa_n\,を導くには,\ 両辺の\,\retuwa{k=1}{n-1}\ をとり,\ \retuwa{k=1}{n-1}(a_{k+1}-a_k)=\retuwa{k=1}{n-1}f(k) とすればよい. \\[1zh] 左辺を書き出すと中央が消えて両端が残る.\ なお,\ わかりやすいようにk=n-1\,から書き出した. \\[.2zh] よって,\ a_n-a_1=\retuwa{k=1}{n-1}f(k),\ すなわち\ a_n=a_1+\retuwa{k=1}{n-1}f(k)\ が導かれる. \\\\ 同様の処理を階比数列型漸化式\ a_{n+1}=f(n)a_n\ で行うとする.\ まず,\ \bunsuu{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\ である. \\[.2zh] ここで,\ 両辺の\ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\ (数列の和\,\retuwa{k=1}{n-1}\,に対し,\ 数列の積を表す記号)をとると 本問の場合,\ 1つおきの漸化式であるから,\ a_na_{n-1}\ が求まることになる. \\\\ 最後に,\ 例としてn=5の場合を示す.  nI_nI_{n-1}=5\cdot I_5\cdot I_4 積分の不等式なので,\ \bm{積分区間\,0\leqq x\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ から順番に作成}していく. \\[.2zh] まず\,\sin x\,の範囲にし,\ 各辺に\,\sin^nx\,を掛けてから\ \dint{0}{\frac{\pi}{2}}\ をつける.\ \dint{0}{\frac{\pi}{2}}\ をつけた時に等号をはずす. \\[1zh] 等号が成立するのは,\ 区間内のすべてのxにおいて関数が一致する場合のみだからである. \\[.2zh] \bm{不等式の証明の後に極限がくれば,\ はさみうちの原理}である. \\[.2zh] つまり,\ n{I_n}^2\ をはさむことを考える.\ そのために,\ 示した不等式を利用して,\ まずI_n\,をはさむ. \\[.2zh] I_{n+1}0)\,を両辺に掛ける.\ 右辺は\,\bunsuu{\pi}{2}\,であるから,\ 後は左辺の極限を求めればよい. \\[.6zh] これを利用できる形を無理矢理作り出し,\ 極限をとる. \dlim{n\to\infty}\bunsuu{n}{n+1}=\dlim{n\to\infty}\bunsuu{1}{1+\bunsuu1n}=1\ である.    はさみうちの原理より 本問の積は,\ I_n\,を用いて表現できる. \\[.5zh] \bunsuu{\pi}{2}\cdot\bunsuu{I_{2n+1}}{I_{2n}}\ と表せるから,\ \bm{不等式を作成してはさみうちの原理を適用}する.