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n\log n-n+1<\log(n\kaizyou)<(n+1)\log n-n+1\ を示せ.$ \\[1zh] 本問は,\ n\kaizyou\,の近似式を作成することを目標としている. \\[.2zh] しかし,\ 階乗を直接評価するのは難しい.\ そこで,\ \log(n\kaizyou)\ として考える. \\[.2zh] 対数の性質\ \log MN=\log M+\log N\ より,\ 階乗を分解することができる. \\[.2zh] この和を面積ととらえると,\ y=\log x\,の定積分で評価することができる. \\[1zh] 上から評価するには\,y=\log x\,の右側に長方形を作成すればよい. \\[.2zh] この場合の評価の仕方は何通りか考えられる.\ なお,\ \log1は0なので後から追加すればよい. \\[.2zh] 例えば,\ \log2+\log3+\cdots+\log n<\dint{1}{n+1}\log x\,dx\ と考えるのが最も単純である. \\[.8zh] このとき,\ \log2+\log3+\cdots+\log n<(n+1)\log(n+1)-n\ となり,\ 与式とは微妙に異なる. \\[.2zh] より厳しく,\ \log2+\log3+\cdots+\log n<\dint{2}{n+1}\log x\,dx\ と考えることもできる. \\[.8zh] \log2+\log3+\cdots+\log n<(n+1)\log(n+1)-(n+1)-(2\log2-2)\ となり,\ これも異なる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{n\leqq x\leqq n+1\,の長方形を特別扱い}(近似しない)して求めると,\ 問題の式と一致する. \\[.2zh] 問題の式が\log(n+1)\,ではなく\log n\,であることから,\ nまでの積分ではないかと考えたわけである. \\[1zh] y=\log x\,の左側に長方形を作成すると下から評価できる.\ この場合は試行錯誤する余地はない. 不等式の証明の後に極限ときたらはさみうちの原理である. \\[.2zh] (1)の不等式の中央の項に着目し,\ (2)の式を目指して変形する. \\[.2zh] つまり,\ 各辺から\log n^n\,を引いた後nで割ればよい.\ \log n^n=n\log n\ より,\ 簡潔な式ではさまれる. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{スターリングの公式}} \\[.5zh]   階乗が扱いにくいとき,\ この公式で指数関数に変換して扱うことができる. \\[.2zh]   また,\ 階乗のおおよその値を見積もることができる. に対し,\ 公式では\ 2.16\times10^{17}$\ である. \\[.2zh]   う~ん、微妙?実はスターリングの公式はいくつかあり,\ これは最も粗い近似である. \\[.2zh]   より精度の高い公式として\ $\bm{\textcolor{red}{n\kaizyou\kinzi\ruizyoukon{2\pi n}\left(\bunsuu ne\right)^n}}$があり,\ $2.42\times10^{18}$\ が得られる.