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変数分離形の次に大学入試で頻出するのが,\ 1階線形微分方程式である. \\[1zh] \centerline{\textbf{\textcolor{blue}{1階線形微分方程式}}  
ただし,\ 一般の1階線形微分方程式を解くのは難しい. \\[.2zh] よって,\ 大学入試で登場するのは,\ 1階線形微分方程式の特殊な場合である. \\[.2zh] 原則として誘導がつくが,\ 誘導なしで解けるようにしておくと問題の見通しがよくなる. \\\\[1zh] [1]\ \ $\bm{\textcolor{blue}{P(x)=a\ (定数)}}$の場合 
この型は,\ \textbf{\textcolor{magenta}{両辺に$\bm{e^{ax}}$を掛けて左辺を積の微分法の形にした後,\ 両辺を積分する.}} \\[1zh] 両辺に$e^{ax}$を掛けると 
この型は,\ \textbf{\textcolor{magenta}{両辺に$\bm{x}$を掛けて左辺を積の微分法の形にした後,\ 両辺を積分する.}} \\[1zh] 両辺に$x$を掛けると
積の微分法\ \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ より (e^{ax}y)’=ae^{ax}y+e^{ax}y’ \\[.2zh] これを逆に用いるため,\ y’+ay=Q(x)型では両辺にe^{ax}\,を掛けるわけである. \\[.2zh] 同様に,\ (xy)’=y+xy’\ を逆に用いるため,\ y’+\bunsuu yx=Q(x)型では両辺にxを掛ける. \\[.6zh] なお,\ Q(x)=0のとき,\ \bunsuu{dy}{dx}+P(x)y=0\ は\ \bunsuu{dy}{y}=-\,P(x)\,dxとできるから,\ 変数分離形である.
\phantom{ (1)}\ \ 両辺を$x$で微分すると $両辺を$x$で微分すると}(C:任意定数)}$}
(1)\ \ 積分区間に変数を含む積分方程式では,\ \bm{定積分の値が0になるような値を両辺のxに代入する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは原則必須である.\ つまり,\ 誘導がなくてもf(0)を求める必要がある. \\[1zh] (2)\ \ 変数型の積分方程式では,\ \bunsuu{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\,dt=f(x)を利用するため,\ \bm{両辺をxで微分する.} \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ 被積分関数にxが含まれていると利用できないので,\ \bm{展開してxを前に出す.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x\dint{0}{x}f'(t)\,dt\,は,\ \bm{積の微分法}の扱いとなることに注意する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \dint{0}{x}f'(t)\,dt\,は普通に計算でき,\ (1)の結果を代入すると答えが得られる. \\\\
(3)\ \ (2)よりf'(x)+f(x)=\cos x,\ つまりy’+y=\cos xで,\ これは1階線形微分方程式である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ e^x\,を両辺に掛けることになるが,\ 実際に出題される場合,\ このような誘導がつく. \\[1zh] (4)\ \ (3)の\{e^xf(x)\}’=e^x\cos xより,\ \ e^xf(x)=\dint{}{}e^x\cos x\,dx\ である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ (指数関数)\times(三角関数)は,\ \bm{指数関数を微分形とみて2回部分積分すると同形が現れる.}最後,\ 初期条件(1)を考慮してCを求める.