参考:微分形接触累乗型

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以下の積分漸化式は応用上重要であるために頻出する. \\  応用は別に取り上げるので,\ ここでは導出だけ示す. \\  基本的に\textbf{\textcolor{red}{部分積分}}して導かれるが,\ \ \textcolor[named]{ForestGreen}{$I_n=\dint{}{}\tan^nx\,dx$だけは特殊}なので注意する. I_n=\dint{}{}\sin^nx\,dx\ の漸化式}}$ \\[1z \bm{1個分離した\sin xを微分形(-\cos x)’とみて部分積分}する. \\[.2zh] %\dint{}{}f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\dint{}{}f'(x)g(x)\,dx \\[.2zh] (\sin^{n-1}x)’=(n-1)\sin^{n-2}x\cdot(\sin x)’=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x \\[.2zh] \cos^2xを\sin xに統一,\ 展開・分割すると,\ I_{n-2}\,とI_n\,の形となるから,\ I_n=の形に変形すればよい.    つまり $I_n=\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$ \\[.5zh]    よって $nI_n=\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}$ \\[1zh] [1]と同様である. (\cos^{n-1}x)’=(n-1)\cos^{n-2}x\cdot(\cos x)’=(n-1)\cos^{n-2}x(-\sin x)  [3]\ \ $\bm{\textcolor{blue}{I_n=\dint{}{}(\log x)^n\,dx\ の漸化式}}$ \\[1zh]    $\textcolor{red}{I_n}=\dint{}{}(\log x)^n\,dx=\textcolor{cyan}{\dint{}{}(x)'(\log x)^n\,dx}$ \\[.2zh]    $\phantom{I_n}=x(\log x)^n-\dint{}{}x\cdot n(\log x)^{n-1}\cdot\bunsuu1x\,dx$ \\[.2zh]    $\phantom{I_n}=x(\log x)^n-n\dint{}{}(\log x)^{n-1}\,dx=\textcolor{red}{x(\log x)^{n}-nI_{n-1}}$ \\\\ \dint{}{}\log x\,dx=\dint{}{}(x)’\log x\,dx=x\log x-\dint{}{}x\cdot \bunsuu1x\,dx=x\log x-x+C\ と同じ要領である. \\[.8zh] \{(\log x)^n\}’=n(\log x)^{n-1}\cdot(\log x)’=n(\log x)^{n-1}\cdot\bunsuu1x  [4]\ \ $\bm{\textcolor{blue}{I_n=\dint{}{}x^ne^x\,dx\ の漸化式}}$ \\[1zh]    $\textcolor{red}{I_n}=\dint{}{}x^ne^x\,dx=\textcolor{cyan}{\dint{}{}x^n(e^x)’\,dx}=x^ne^x-n\dint{}{}x^{n-1}e^x\,dx=\textcolor{red}{x^ne^x-nI_{n-1}}$ \\\\ これは[3]で\,\log x=tと置換したものである.\ \ \log x=t\ のとき\ x=e^t\ より \bunsuu{dt}{dx}=\bunsuu1x=\bunsuu{1}{e^t} \\[.2zh] よって dx=e^t\,dt より \dint{}{}(\log x)^n\,dx=\dint{}{}t^ne^t\,dt  [5]\ \ $\bm{\textcolor{blue}{I_n=\dint{}{}\tan^nx\,dx\ の漸化式}}$ \\[1zh \tan^2xを分離し,\ 公式\ 1+\tan^2x=\bunsuu{1}{\cos^2x}\ を利用して\cos xで表す.\ さらに展開・分離する. \\[.8zh] \bunsuu{1}{\cos^2x}\,を微分形(\tan x)’\ とみなすと,\ \bm{微分形接触累乗型}の積分である. \\[.8zh] \tan x=t\ と置換積分すると,t^{n-2}\,d