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数\text{I\hspace{-.1zw}I}と同様に,\ \bm{積分区間に変数xを含む場合,\ 両辺をxで微分する.} \\[.2zh] ところが,\ 一般に\bm{両辺の微分は同値な変形ではない.} \\[.2zh] y=2x+1,\ y=2x+2\ がいずれもy’=2\,となるように,\ 微分すると定数項の情報がなくなる. \\[.2zh] これを積分しても,\ y=\dint{}{}2\,dx=2x+C\ となり,\ 微分前の形に完全に復元することはできない. \\[.8zh] 初期条件(x,\ y)=(0,\ 1)などがあってはじめて,\ y=2x+1\ のように復元できる. \\[.2zh] つまり,\ あらかじめ\bm{元の式が成立するような条件を1つ求めておく}必要があるわけである. \\[.2zh] 結局,\ \bm{定積分が0になるような値を両辺のxに代入する}ことになる.\ 2x-1=a\ →\ x=\bunsuu{a+1}{2} \\[1zh] 最後,\ 2x-1をxに変える.\ 2x-1=tとするとx=\bunsuu{t+1}{2}\ より,\ x\ →\ \bunsuu{x+1}{2}\ とすればよい.    \textcolor{red}{両辺を$x$で微分}すると ]    さらに\textcolor{red}{両辺を$x$で微分}すると    $与式と\maru1の\textcolor{cyan}{両辺にx=aを代入}すると$ \\[.2zh]      被積分関数にxが含まれていると,\ \bunsuu{d}{dx}\dint{a}{x}f(t)\,dt=f(x)\ が適用できない. \\[.8zh] 展開するとxが前に出せ,\ 適用できるようになる. \\[.2zh] ここで,\ x\dint{a}{x}f(t)\,dt\ の微分は\bm{積の微分}の扱いとなることに注意する. \\[.8zh] \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ より,\ \left(x\dint{a}{x}f(t)\,dt\right)’=1\cdot\dint{a}{x}f(t)\,dt+x\cdot f(x)\ となる. \\[1zh] さらにもう一度微分してf(x)が導かれる.\ 同値性を保つための条件も考慮する. \\[1zh] 一般に\ \dint{a}{x}(x-t)f(t)\,dt=F(x)\ のとき\ f(x)=F”(x)\ が成立するため,\ この式は頻出する.    $\textcolor{cyan}{与式の両辺に\ x=0\ を代入}すると \bm{被積分関数にf(x-t)を含む型}である.\ この型は,\ \bm{置換積分}することでxを分離できる. \\[.2zh] e^x\dint{0}{x}e^{-u}f(u)\,du\ は\bm{積の微分}の扱いとなる. \\[1zh] 微分後,\ \bm{元の式を利用できる}ことに気付かなければならない. \\[.2zh] f'(x)が求まるから,\ 積分してf(x)を求める.\ さらに,\ 初期条件も確認してf(x)が決定する. \\[1zh] \maru1の利用に気付きにくいかもしれないが,\ 次を1つのパターンと考えておくとよい. \\[.2zh] f(x)+e^x\dint{0}{x}e^{-u}f(u)\,du=g(x)\ の両辺を微分すると f'(x)+e^x\dint{0}{x}e^{-u}f(u)\,du+f(x)=g'(x) \\[1zh] よって,\ f'(x)+g(x)=g'(x),\ つまり\ f'(x)=g'(x)-g(x)\ が成立する.