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普通に積分計算し,\ 普通に平方完成して最小値を求めればよく,\ 特別な知識は必要ない. \\[.2zh] \bm{積分区間が対称}であるから,\ \bm{偶関数・奇関数を考慮}すると楽になる. \\[.2zh] \sin^2x,\ x^2,\ 定数,\ x\sin xは偶関数(y軸対称),\ \sin x,\ xは奇関数(原点対称)である. \\[.2zh] \begin{cases} (偶関数)\times(偶関数)=(偶関数) & (正\times 正=正) \\ (偶関数)\times(奇関数)=(奇関数) & (正\times 負=負) \\ (奇関数)\times(奇関数)=(偶関数) & (負\times 負=正) \end{cases}\ によって容易に判断できる. \\\\[-1zh] 積分区間が対称ならば,\ 奇関数は無視でき,\ 偶関数は積分区間を半分にして2倍すれば済む. \\[.2zh] x\sin xは(整関数)\times(三角関数)型であるから部分積分する. \\[.2zh] 最後,\ aとbそれぞれについて平方完成すると最小値が求まる. \\[.2zh] 一般に,\ (a-p)^2+(b-q)^2+r\ ならば,\ a=p,\ b=q\ のとき最小値\,r\,をとる. 左上図のような実験データを直線でフィッティング(近似)することを考える.\ \\[.2zh] 各点を(x_i,\ y_i)とすると,\ 各点と直線とのy座標の距離は\zettaiti{y_i-(ax_i+b)}で表される. \\[.2zh] この和が最小になる直線をとるのが合理的である.\ ただし,\ 絶対値が扱いにくいので2乗の和とする. \\[.2zh] つまり,\ \{y_1-(ax_1+b)\}^2+\cdots\cdots+\{y_4-(ax_4+b)\}^2\ を最小にするa,\ bを求めることになる. \\[1zh] さて,\ 点ではなく関数y=\sin xを直線y=ax+bで近似することを考える. \\[.2zh] このとき,\ 2関数の差の2乗\ \{\sin x-(ax+b)\}^2\ の定積分を最小にするa,\ bを求めることになる. \\[.2zh] 図形的には,\ \bm{y=\sin x\,と\,y=ax+b\,間の面積が最小になるときのa,\ bが求まる}(右上図). \\[.2zh] 本問は,\ y=\sin x\,\left(-\bunsuu{\pi}{2}\leqq x\leqq\bunsuu{\pi}{2}\right)の最良近似直線がy=\bunsuu{24}{\ \pi^3}x\,であることを意味するのである.