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整数m,\ nに対して積分\ I_{m,\ n}=\dint{0}{2\pi}\cos mx\cos nx\,dx$を求めよ. \\[1.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $自然数nに対して積分\ J_n=\dint{0}{2\pi}\left(\retuwa{k=1}{n}\ruizyoukon k\cos kx\right)^2dx$を求めよ. \ \ [北海道大] \bm{積和の公式}で次数を下げて積分する型である. \\[.2zh] これを一般化した問題だが,\ 角度に文字を含むときは場合分けが必要になる. \\[.2zh] つまり,\ 積分すると分母に表れるm+nとm-nが0になる場合を分けなければならない. \\[.2zh] 通常は「自然数m,\ n」だが,\ 本問は「整数m,\ n」なのでより面倒である. \\[.2zh] \bm{m+nとm-nがそれぞれ0か否かで4つの場合に分ける}ことになる. \\[.2zh] 「自然数m,\ n」ならば常にm+n\neqq0なので,\ m-n=0の場合のみ分ければ済む. \\[.2zh] m+n=0\ かつ\ m-n\neqq0\ \Longleftrightarrow\ m=-n\ かつ\ -2n\neqq0\ \Longleftrightarrow\ m=-n\neqq0 Σの正体が不明であれば,\ とりあえず和の形で書き出す. \\[.2zh] n個の項の和の2乗になるが,\ これの展開は(a+b)^2\,から順に考えると次のようになる. \\[.2zh]  (a+b)^2=a^2+b^2+2ab \\[.2zh]  (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \\[.2zh]  (a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \\[.2zh] 以上から,\ \bm{各項の2乗と互いに異なる項の積}を積分すればよいことがわかる. \\[.2zh] (1)より,\ m,\ nを自然数に限れば,\ \bm{m=nのときすべて\,\pi,\ m\neqq nのときすべて0}\,である. \\[.2zh] 結局,\ 互いに異なる項の積の積分はすべて0になるから,\ 各項の2乗の積分だけが残る. \\[.2zh] 最後,\ 1+2+\cdots\cdots+n=\retuwa{k=1}{n}k=\bunsuu{n(n+1)}{2}\ のようにまとめておく.   連続関数は,\ \textbf{\textcolor{magenta}{無限個の成分をもつベクトル}}とみなすことができる. \\[.4zh]   これは,\ 無限にある実数$x$についての$f(x)g(x)$をすべて足し合わせたものである. \\[.2zh]   そして,\ この操作は\textbf{\textcolor{red}{積分する}}ということに他ならない. \\[.5zh]   結局,\ 関数の内積が\ \scalebox{1}[.97]{$\bm{\textcolor{red}{\bekutoru*{f(x)}\cdot\bekutoru*{g(x)}=\dint{-\infty}{\infty}f(x)g(x)\,dx}}$}\ と定義できるのである. \\\\   (1)は,\ $f(x)=\cos mx,\ g(x)=\cos nx\ (0\leqq x\leqq2\pi)$\ の内積を計算する問題である. \\[.2zh]   $\bm{\textcolor{red}{m\neqq n\ のときに内積が0}}$になる.\ このとき,\ $\bm{\textcolor{red}{\cos mx\,と\,\cos nx\ は直交する}}$という. \\\\   $\cos$同士だけでなく,\ $\sin 同士や\ \sin と \cos$の間にも直交性が存在する. \\[.2zh]   $m,\ nは自然数とする.$ \\[.5zh] 異なる三角関数の内積は\ 0  & \rei\ \ \sin3x\sin2x,\ \cos3x\cos2x,\ \sin3x\cos2x \\  同じ三角関数の内積は\ 高校ではベクトルを向きをもつ量と学習するが,\ より一般的には\bm{単なる数の組}ととらえられる. \\[.2zh] ベクトルをこうとらえると,\ 2次元・3次元からn次元・無限次元への拡張も不思議なものではない. \\[.2zh] \sin mx\,や\,\cos mx\,は\,2\pi\,の周期性をもつから,\ 積分区間は[0\,→\,2\pi]でも[-\pi\,→\,\pi]でも同じである. \\[.2zh] なお,\ ここでいう「直交性」は,\ グラフが直角に交わることとは別の話である. \\[1zh] (2)は次の計算をn個に拡張し,\ さらに関数に置き換えたものである. \\[.2zh] 異なる三角関数(ベクトル)の内積はすべて0になるから,\ 結局同じ三角関数の内積の和になる.