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2以上の自然数nについて,\ \log(n+1) \dlim{n\to\infty}\log(n+1)=\infty\ であるから,\ \bm{追い出しの原理より は直感的には収束しそうである. \\[.8zh] しかし,\ 実は\bm{調和級数\ \retuwa{k=1}{\infty}\bunsuu1k\ が無限大に発散}することがわかったわけである. \\[.8zh] なお,\ 調和級数はゼータ関数\ \zeta(s)=\retuwa{n=1}{\infty}\bunsuu{1}{n^s}\ の\,\zeta(1)\,である.\ \hspace{.5zw} (1)\ \ $a_n\,はnの単調減少数列であることを示せ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $a_n>0$\ であることを示せ. \\ 単調減少数列}$} \\\\\\ \bm{a_n-a_{n+1}>0}\ を示せばよい. \\[.2zh] このとき,\ \log n\,を\ \dint{1}{n}\bunsuu1x\,dx\ とみなし,\ \bm{面積比較に帰着}させる. \\[1.2zh] 上図において,\ \bm{\dint{n}{n+1}\bunsuu1x\,dx>長方形の面積(斜線部分)}\ より示される. \\[1.2zh] 以上の解法は,\ 前問やオイラー定数についての背景知識をもっていないと難しい. \\[.2zh] なお,\ 前問の\ 1+\bunsuu12+\bunsuu13+\cdots+\bunsuu1n<1+\log n\ より,\ a_n<1\ が示される.   さて,\ \textcolor{cyan}{$a_n$\,は下に有界な単調減少数列}であることが判明した. \\[.2zh]   これは,\ \textcolor{red}{$\bm{a_n\,が\,n\,→\,\infty\,で収束}$}することを意味している. \\[.2zh]   その収束値約0.577をオイラー定数といい,\ $\gamma$\,で表す. \\[.5zh]   オイラー定数については,\ 未だに\textbf{有理数か無理数かすらわかっていない.} \\\\   \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{極限では調和級数と対数関数の増加の程度が等しく,\ その誤差は約0.577に収束}}する. \\[.2zh]   よって,\ $\bm{\textcolor{red}{\retuwa{k=1}{n}\bunsuu{1}{k}\kinzi \log n+\gamma}}$\ として調和級数の値を見積もることができる. \\[-.2zh]   試しに\,$n=1兆$\,の場合を計算機で求めると,\ $\retuwa{k=1}{1兆}\bunsuu{1}{k}\kinzi27.631+0.577\kinzi28.2$\ となる. \\[.2zh]   $1+\bunsuu12+\cdots+\bunsuu{1}{1兆}$\ でも28程度というのは,\ \textbf{\textcolor{blue}{調和級数の発散の遅さ}}を物語っている. \\[.4zh]   $\log n=100,\ つまり\ n=e^{100}\kinzi2.7\times10^{43}$ 項目まで足してようやく100を超える.