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dint{1}{2}\bunsuu1x\,dx\ と長方形の面積を比較}}することにより,\ \bm{\textcolor{blue}{\log2を評価}}しよう.   $\bm{\textcolor{red}{(小さい長方形)<\dint{1}{2}\bunsuu1x\,dx<(大きい長方形)}}\ より,\ \bm{\textcolor{blue}{\bunsuu12<\log2<1}}$\ を得る. \\[.2zh]   ほぼ自明な が示されたにすぎず,\ この精度では意味がない. \\   より厳しく評価するために,\ \textbf{\textcolor{red}{台形の面積と比較}}する(\textbf{\textcolor{blue}{台形近似}}). \\\\   ここで,\ 下側の斜めの直線は,\ \textbf{\textcolor{magenta}{区間の中央の点における接線}}である. \\[.2zh]   $\bm{\textcolor{red}{(小さい台形)<\dint{1}{2}\bunsuu1x\,dx<(大きい台形)}} よ   $つまり,\ \bunsuu23<\log2<\bunsuu34\ (\bm{\textcolor{blue}{0.66\cdots<\log2<0.75}})\ が得られるわけである.$ \\\\[.5zh] 小さい台形の面積を求めるとき,\ 接線の方程式を求めたりする必要はない. \\[.2zh] 小さい台形の面積は右図の赤い長方形の面積と等しいからである. \hspace{.5zw}$(1),を満たす実数x,\ aに対し,\ 次を示せ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ (1)を利用して,\ 0.68<\log2<0.71\ を示せ.            [東京大]$ \\    $よって,\ f(t)は下に凸の単調減少関数である.$ \\\\    図において,\ 直線PQは点$\left(a,\ \bunsuu1a\right)$における接線である. \\[.5zh] この不等式は下に凸の単調減少関数の場合に成り立つから,\ 念のために微分して示しておく. \\[.2zh] 解答のような図形的意味をもつことに気付くことができれば話は早いが,\ 簡単なことではない. \\[.2zh] 台形近似の知識を持っていることと,\ 普段から式の意味を考えることを心掛けているかが問われる. \\[1zh] 次のような形で出題されることも考えられる.\ その意味に気付けるようにしておこう. \\[.2zh] %\bunsuu{a+x}{a-x}=2\ のとき\ a=3x\ となるから,\ これを(1)の不等式に代入すればよい. \\[.8zh] \dint{1}{2}\bunsuu1x\,dx=\log2\ を考慮すると\ a-x=1,\ a+x=2,\ つまり\ a=\bunsuu32,\ x=\bunsuu12\ を代入すればよい. \\[.6zh] すると\ 0.66 0.75\ が得られるのは最初に示した通りである. \\[.6zh] 通常はこれで終わりのはずだが,\ さすがは東大,\ これで許してはもらえない. \\[.2zh] 東大の要求は\,0.68<\log2<0.71\,とさらに厳しいものである. \\[1zh] そこで,\ \bm{区間の幅を狭める}という発想により,\ 精度を上げることにする. \\[.2zh] これで計算すると無事に要求を満たすものが得られる.\ 図形的には下図のようになる.