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次の方程式・不等式を解け.{無理方程式と無理不等式}}}} \\\\[.5zh] 無理方程式は,\ きちんと習っていないにもかかわらず,\ 今までにも度々登場してきた. \\[.2zh] 2つの解法があるのだが,\ [1]はすでにお馴染みだろう.\ [2]も習得しておいてほしい. \\\\
[1]\ \ \textbf{\textcolor{red}{一旦両辺を2乗して解を求め,\ その解が元の式を満たすかを確認する.}} \\[.5zh] [2]\ \ \textbf{\textcolor{red}{同値変形$\bm{\textcolor{blue}{\ruizyoukon A=B\ \Longleftrightarrow\ B\geqq0\ \ かつ\ \ A=B^2}}$によって解く.}} \\\\\\
(1)\ \ 両辺を2乗すると
一般に,\ 両辺を2乗すると同値性が崩れる.\ つまり,\ \ruizyoukon A=B\ \Longleftrightarrow\ A=B^2\ は成り立たない. \\[.2zh] よって,\ 2乗して求まった解が元の方程式を満たすかどうかを確認する必要がある. \\[1zh] \ruizyoukon{A}\ があるとき,\ \bm{中身A\geqq0\ かつ\ 全体\ \ruizyoukon A\geqq0}\ である. \\[.2zh] よって,\ \ruizyoukon A=B\geqq0も加えて初めて同値になる.\ 別解はこれを利用する解法である. \\[.2zh] A=B^2\ ならば自動的にA\geqq0がいえるので,\ A\geqq0を加える必要はない. \\[1zh] 無理不等式のようにグラフを図示して適切な解を選んでもよいが,\ 面倒である.
方程式はほぼ両辺を2乗するだけで済むが,\ 不等式となると一気に話がややこしくなる. \\[.2zh] 2つの解法のうち[2]は非常に複雑なので,\ グラフの図示が可能ならば[1]が推奨される. \\\\
[1]\ \ \textbf{\textcolor{red}{グラフを図示し,\ 上下関係を考える.}} \\[1zh] [2]\ \ \textbf{\textcolor{red}{同値変形によって解く.}} \
\ruizyoukon{A}<B\ の両辺を2乗するとA<B^2\ であるが,\ これだけでは同値とはいえない. \\[.2zh] 中身A\geqq0でなければならないし,\ 全体\ 0\leqq\ruizyoukon A<Bより,\ B>0でなければならない. \\[.2zh] 0\leqq A<B^2\ は\ 0\leqq3<(-\,2)^2\ のようにB<0の可能性も含んでいるので,\ 排除せねばならない. \\[1zh] 不等号が逆になると一段と複雑になり,\ B<0とB\geqq0で分けて考える必要が出てくる. \\[.2zh] \ruizyoukon A\geqq0より,\ B<0ならば\ \ruizyoukon A>B\ は常に成り立つ.\ ただし,\ 当然A\geqq0が前提である. \\[.2zh] B\geqq0のとき,\ 両辺が0以上となるから2乗するとA>B^2\ である.\ 自動的にA>0となる. \\[1zh] 常に\ \ruizyoukon A\geqq0,\ \ruizyoukon B\geqq0より,\ 両辺を2乗するとA>Bとなる. \\[.2zh] 中身B\geqq0ならば,\ A>Bより自動的にA>0であるから,\ A\geqq0を加える必要はない. \\[1zh] 自分で理解・納得して導けるようにしておかなければ,\ 丸暗記は難しいだろう.
が$y=x-4$の下側にある$x$の値の範囲}は $\bm{x>7}$ \\[1zh] (3)\ \ 図より,\ \textcolor{magenta}{$y=\ruizyoukon{x+2}$が$y=x-4$の上側にある$x$の値の範囲}は $\bm{-\,2\leqq x<7}$ \ 頂点は(-\,2,\ 0),\ 定義域はx+2\geqq0よりx\geqq-\,2,\ 値域はy=\ruizyoukon{x+2}\geqq0である. \\[.2zh] よって,\ y=\ruizyoukon{x+2}\ のグラフは,\ (-\,2,\ 0)の右上の領域に存在する. \\[.2zh] y=x-4も図示するわけだが,\ (1)のようにして交点を求める必要がある. \\[.2zh] つまり,\ 無理不等式を図形的に解く場合,\ 結局無理方程式も解くことになる. \\[.2zh] (3)では,\ x=-\,2も含まれることに注意する. \\[1zh] 一応,\ 同値変形を利用する別解も示しておいた. \\[.2zh] グラフの図示が困難な場合はこの解法が必要になるが,\ そのような場合は稀である. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\\\ \hspace{.5zw}\begin{tabular}{|p{13.2cm}|} \hline \\[-.8zh] \hspace{.5zw}次の不等式を解け. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\ruizyoukon{3-2x}+\bunsuu12x-\bunsuu32\leqq0$     (2)\ \ $\ruizyoukon{2x-x^2}>\ruizyoukon{2x-1}$ \\
(1)\ \ 2乗して根号をはずすため,\ 根号の部分とそれ以外の部分を分離する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 定義域は3-2x\geqq0よりx\leqq\bunsuu32,\ 値域はy=\ruizyoukon{3-2x}\geqq0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ y=\ruizyoukon{3-2x}\ のグラフは,\ 頂点\left(\bunsuu32,\ 0\right)の左上の領域に存在する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \ruizyoukon{3-2x}=-\bunsuu12x+\bunsuu32\ \cdots\,\maru1\ の両辺を2乗すると 3-2x=\left(-\bunsuu12x+\bunsuu32\right)^2 \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ x^2+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 x=-\,3,\ 1\ (いずれも\maru1を満たす) \\[1zh] (2)\ \ y=\ruizyoukon{2x-x^2}\ の図示が困難?な気がするので,\ 同値変形する方法を本解とした. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 先に示した通り,\ \ruizyoukon A>\ruizyoukon B\ \Longleftrightarrow\ A>B\ \ かつ\ \ B\geqq0\ である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 実は,\ y=\ruizyoukon{2x-x^2}\ はよく知っているグラフである.\ 2乗して変形するとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ y^2=2x-x^2\ \ x^2-2x+y^2=0\ \ (x-1)^2+y^2=1 \ \ \therefore\ \ 中心(1,\ 0),\ 半径1の円の上半分 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 円の式(x-a)^2+y^2=r^2\ を変形すると y=\pm\ruizyoukon{r^2-a^2+2ax-x^2} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ r^2-a^2=p,\ 2a=qとおくと y=\pm\ruizyoukon{p+qx-x^2} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このような形の式を見かけた場合,\ 円の式だと気付かなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問はp=0,\ q=2の場合に相当する.\ なお,\ +\,は上半分,\ -\,は下半分である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \ruizyoukon{2x-1}=\ruizyoukon{2\hspace{-.2zw}\left(x-\bunsuu12\right)}\ より 頂点\left(\bunsuu12,\ 0\right),\ 定義域x\geqq\bunsuu12,\ 値域y\geqq0 \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 2x-x^2=2x-1 x^2-1=0 x=\pm\,1 2x-1\geqq0を満たすのはx=1