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x$に対して$y$が規則$f$によって\underline{ただ1つ}に定まるとき,\ $f$を関数といい,\ $y=f(x)$と表す. 1対1の関数}}であるという.} \\\\\\
$f(x)$が1対1の関数であるとき,\ $y$に対して$x$が\underline{ただ1つ}に定まる. \\[.2zh] よって,\ $x$は$y$の関数であり, これを$x=f^{-1}(y)$と表す.\ \ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{f^{-1}}$を$\bm{f}$の逆関数}}という. \\[.5zh] \centerline{$\bm{\textcolor{red}{y=f(x)\ \Longleftrightarrow\ x=f^{-1}(y)}}$} \\\\
ここまでならばわかりやすいのだが,\ 試験では「逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ」と問われる. \\[.2zh] この場合,\ \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{x=f^{-1}(y)}$の$\bm{x}$と$\bm{y}$を入れ替えて$\bm{y=f^{-1}(x)}$の形で答える}}のが慣習である. \\[.2zh] 結局,\ 以下のような手順で機械的に逆関数を求めることになる. \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{逆関数の求め方}} \\[1zh] [1]\ \ \textbf{\textcolor{red}{与えられた関数$\bm{f(x)}$の値域を調べる.\ これが逆関数$\bm{f^{-1}(x)}$の定義域になる.}} \\[.5zh] [2]\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{y=f(x)}$を$\bm{x=g(y)}$の形に変形する.}} \\[.5zh] [3]\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{x}$と$\bm{y}$を入れ替え,\ $\bm{y=g(x)=f^{-1}(x)}$とする.}} \\\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{逆関数のグラフ}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{red}{$\bm{y=f(x)}$と$\bm{y=f^{-1}(x)}$のグラフは,\ 直線$\bm{y=x}$に関して対称である.}} \\[.5zh] 逆関数の関係にある2つのグラフの代表格は,\ 以下の2例である. \\\\\\
x=1は,\ 1つのxに対して無数のyが対応するから関数ではない. \\[.2zh] y=x^2\,は,\ 1つのxに対してただ1つのyが対応するから関数である. \\[.2zh] しかし,\ x_1\neqq x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\neqq f(x_2)\ (xが異なればyも異なる)ではないから,\ 1対1ではない. \\[.2zh] 1つのyに対するxがただ1つに定まらないから,\ 1対1でない関数の逆関数は存在しない. \\[1zh] x_1\neqq x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\neqq f(x_2)は,\ \bm{対偶をとると\ f(x_1)=f(x_2)\ \Longrightarrow\ x_1=x_2}\ である. \\[1zh] 「1対1」と「1対1対応」は別物で,\ 「1対1」は「単射」,\ 「1対1対応」は「全単射」を意味する. \\[.2zh] 1対1\ (単射)は,\ とりあえず単調増加・単調減少と考えておく. \\[.2zh] 高校生は,\ \bm{単調増加関数・単調減少関数ならば逆関数が存在する}ことの認識が第一である. \\[1zh] f^{-1}(x)は「エフインバースエックス」と読む.\ \\[.2zh] 逆関数は英語で「\text{inverse\ function}」,\ 逆数は「\text{inverse\ number}」である. \\[1zh] f^{-1}(x)=\bunsuu{1}{f(x)}\ ではないので注意する.\ ただし,\ (f^{-1})^{-1}=f\ (\bm{逆関数の逆関数は元の関数})である. \\[1zh] これは(2^{-1})^{-1}=2^{(-1)(-1)}=2^1=2などと酷似しており,\ 逆関数をf^{-1}\,と表すのにも納得がいく. \\[1zh] 点(a,\ b)がy=f(x)上にあるとすると,\ b=f(a)が成り立つ. \\[.2zh] これは,\ b=f(a)\ \Longleftrightarrow\ a=f^{-1}(b)\ より,\ 点(b,\ a)がy=f^{-1}(x)上にあることに等しい. \\[.2zh] (a,\ b),\ (b,\ a)はy=xに関する対称点より,\,y=f(x)とy=f^{-1}(x)もy=xに関して対称である. \\[1zh] y=x^2\,は1対1ではないが,\ y=x^2\ (x\geqq0)のように定義域を限定すると1対1になる. \\[.2zh] x\geqq0のときx=\ruizyoukon{y}\ より,\ y=x^2\ (x\geqq0)\,の逆関数はy=\ruizyoukon x\ である. \\[.2zh] y=\ruizyoukon x\ を変形するとx=y^2\ で,\ 値域はy\geqq0であるから,\ 逆関数はy=x^2\ (x\geqq0)\ である. \\[.2zh] 指数・対数関数は逆関数の関係にあるので,\ グラフがy=xに関して対称になるのは当然である.
まず平方完成して値域を確認する.\ これが逆関数の定義域になる.
最後,\ xとyを入れ替えて答えればよい. \\[.2zh] x^2-2x+y-2=0より,\ x=1\pm\ruizyoukon{(-\,1)^2-(y-2)}=1\pm\ruizyoukon{-\,y+3}\ (解の公式)としてもよい. \\[.4zh] なお,\ 逆関数の値域は,\ 元の関数の定義域より-1\leqq y\leqq1である.\ これはグラフの図示で役立つ.
\ 逆関数は\ \ \bm{y=(x-2)^2+1\ \ (定義域:x\leqq2)}$] 無理関数の逆関数は,\ 定義域を忘れやすいので注意する. \\[.2zh] 後にまた取り上げるが,\ 対称性より以下のことがいえる. \\[.2zh] \bm{y=f(x)とy=xが交点をもつとき,\ y=f^{-1}(x)もその交点を通る.}
分数関数の値域は,\ 分数関数のグラフで考える必要がある. \\[.2zh] y=1-\bunsuu{2}{x+1}\ は,\ 漸近線がx=-\,1,\ y=1で,\ 左上と右下に存在する双曲線である. \\[.8zh] よって,\ グラフより,\ x\geqq0のときの値域は-1\leqq y<1である. \\[.2zh] y=\bunsuu{x-1}{x+1}\ の分母をはらうと\ \ (x+1)y=x-1  xについて解くと\ (y-1)x=-\,(y+1) \\[.8zh] y=-\bunsuu{x+1}{x-1}=-\bunsuu{(x-1)+2}{x-1}=-\,1-\bunsuu{2}{x-1}\ の漸近線は,\ x=1,\ y=-\,1である.