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円$(x-5)^2+(y-5)^2=5$上を動くとき,\ $\bunsuu{x-y}{x+y}$の最大値・最小値を求めよ. \\
{2変数同次分数関数の最大・最小
$\bunsuu yx=k$は,\ 原点と点$(x,\ y)$を通る直線の傾きである. \\[1zh] 直線$y=kx$と円が共有点をもつ条件は
\bunsuu{x-y}{x+y}\,はすべて1次の項だけでできている. \\[.8zh] このように,\ すべて同じ次数の項でできている式を\bm{同次式}という. \\[.2zh] 1次だとわかりにくいかもしれないが,\ 例えば\ \bunsuu{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ は2次の同次式である. \\[1zh] 重要なのは,\ \bm{2変数同次分数式は比を置換することで1変数にできる}ことである. \\[.2zh] そのため,\ 分母分子をxで割って比の形を作り出す.\ 図より,\ x=0になることはない. \\[.2zh] 2次の場合,\ x^2\,で割って\ \bunsuu{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}=\bunsuu{1-\bunsuu yx+\bunsuu{y^2}{x^2}}{1+\bunsuu yx+\bunsuu{y^2}{x^2}}=\bunsuu{1-k+k^2}{1+k+k^2}\ とできる. \\\\[-.8zh] ちなみに,\ 分数式だけでなく,\ 同次の等式・不等式に対しても同様の発想が有効である. \\[.2zh] 例えば,\ x^2+3y^2\geqq2xyのとき,\ 1+3\cdot\bunsuu{y^2}{x^2}\geqq2\cdot\bunsuu yx\ より\ 1+3k^2\geqq2k\ とできる. \\\\
置換で\ \bunsuu{1-k}{1+k}\ の最大・最小に帰着するが,\ \bm{置換したときは置換したものの範囲の確認を要する.} \\[.8zh] つまり,\ まずkのとりうる値の範囲を求めなければならない. \\[.2zh] (x,\ y)は円周上の点なので,\ 図形的には\bm{y=kxと円が共有点をもつkの範囲}を求めることになる. \\[.2zh] 最大・最小をとるときの(x,\ y)が必要なければ,\ (円の中心と直線の距離)\leqq(半径)とするのが速い. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離の公式 d=\bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}} \\[1zh] 両辺が正なので2乗しても同値である.\ 絶対値は2乗するとはずれる. \\[1zh] 最大・最小をとるときの(x,\ y)も必要ならば,\ 連立して判別式D\geqq0とするとよい. \\[.2zh] (x-5)^2+(kx-5)^2=5 より (1+k^2)x^2-10(1+k)x+45=0\ \cdots\cdots\,\maru1 \\[.2zh] D=\{-\,5(1+k)\}^2-45(1+k^2)=-\,20k^2+50k-20\geqq0 より \bunsuu12\leqq k\leqq2 \\[1zh] kの範囲が求まれば,\ 後は\ \bunsuu{1-k}{1+k}=-\,1+\bunsuu{2}{k+1}\ のグラフを考慮して最大・最小が求まる. \\\\
最大・最小をとるときの(x,\ y)を求めたければ,\ \maru1にkの値を代入すればよい. \