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分数関数$y=\bunsuu{2x-1}{x-1}$と次の直線の共有点の個数を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $y=-\,2x+k$          (2)\ \ $y=k(x-2)$ \\
{分数関数と直線の共有点の個数}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ 求める共有点の個数は,\ $\bunsuu{2x-1}{x-1}=-\,2x+k\ \cdots\cdots\maru1$の実数解の個数に等しい. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \maru1の両辺に$x-1$を掛けて整理すると $\textcolor{red}{2x^2-kx+k-1=0}\ \cdots\cdots\maru2$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ ここで,\ \textcolor{ForestGreen}{\underline{\textcolor{black}{$x=1$は\maru2の解ではないので,\ \maru1と\maru2の実数解の個数は等しい.}}}
グラフにおける共有点の個数は,\ 数式的には連立方程式の実数解の個数である. \\[.2zh] 連立して実数解の個数を求めればよいが,\ \maru1と\maru2が同値ではないことに注意が必要である. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{\bunsuu AB=C\ \Longleftrightarrow\ A=BC\ かつ\ B\neqq0}\ である. \\[.8zh] B\neqq0がなければ,\ 両辺をBで割って戻せなくなるからである. \\[.2zh] よって,\ 本問の場合,\ \bunsuu{2x-1}{x-1}=-\,2x+k\ \Longleftrightarrow\ 2x^2-kx+k-1=0\ かつ\ x\neqq1\ である. \\[.8zh] ここで,\ 2x^2-kx+k-1=0にx=1を代入すると1=0となるから,\ x=1は\maru2の解ではない. \\[.2zh] ゆえに,\ 2x^2-kx+k-1=0\ かつ\ x\neqq1\ \Longleftrightarrow\ 2x^2-kx+k-1=0\ である. \\[.2zh] x\neqq1は自明ではないので,\ 下線部を断っておいたわけである. \\[.2zh] こうして2次方程式の解の個数に帰着する.\ 当然,\ 判別式で求められる. \\[1zh] 図形的意味をとらえておくことも重要である. \\[.2zh] 分数関数は,\ \bunsuu{2x-1}{x-1}=\bunsuu{2(x-1)+1}{x-1}=2+\bunsuu{1}{x-1}\ より,\ 漸近線x=1,\ y=2の双曲線である. \\[.8zh] また,\ y=-\,2x+kは,\ 傾き-2,\ y切片kの直線である.\ つまり,\ 傾きが一定でy切片が変化する. \\[.2zh] k=4\pm2\ruizyoukon2\ のとき1点で接し,\ 4-2\ruizyoukon2<k<4+2\ruizyoukon2\ のとき共有点をもたない. \\[.2zh] k<4-2\ruizyoukon2\ のときは左下の部分と,\ 4+2\ruizyoukon2<k\ のときは右上の部分と異なる2点で交わる.
(2)\ \ 求める共有点の個数は,\ $\bunsuu{2x-1}{x-1}=k(x-2)\ \cdots\cdots\maru1$の実数解の個数に等しい. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \maru1の両辺に$x-1$を掛けて整理すると $\textcolor{red}{kx^2-(3k+2)x+2k+1=0}\ \cdots\cdots\maru2$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ ここで,\ \textcolor{ForestGreen}{\underline{\textcolor{black}{$x=1$は\maru2の解ではないので,\ \maru1と\maru2の実数解の個数は等しい.}}} \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{ForestGreen}{k=0}$のとき 1つの実数解$x=\bunsuu12$をもつ.
(1)とほぼ同様だが,\ \bm{判別式は2次方程式でなければ使えない}ことに注意する. \\[.2zh] つまり,\ 2乗の係数k=0のときは2次方程式にならないので,\ 場合分けして考える必要がある. \\[.2zh] k=0のとき,\ 実際に代入して解を求めてみればよい. \\[.2zh] 最後,\ k=0のときの1個の実数解と,\ k\neqq0のときのD>0,\ D=0,\ D<0をまとめて答える. \\[1zh] y=k(x-2)は,\ x=2のときkの値によらずy=0となる. \\[.2zh] よって,\ \bm{定点(2,\ 0)を通る傾きkの直線}を表す. \\[.2zh] k=-\,4\pm2\ruizyoukon3\ のとき,\ 1点で接する. \\[.2zh] また,\ k=0\ (y=0)のとき漸近線と平行になるので,\ 1点で交わる. \\[.2zh] 同じ共有点1個をもつ場合でも,\ kの値の数式的な由来が違えば図形的意味も異なるわけである. \\[1zh] さらに,\ 同じ共有点2個をもつ場合でも,\ 以下の違いがあることがわかる. \\[.2zh] k<-\,4-2\ruizyoukon3\ のとき,\ 右上の部分と2点で交わる. \\[.2zh] -\,4+2\ruizyoukon3<k<0のとき,\ 左下の部分と2点で交わる. \\[.2zh] 0<kのとき,\ 右上の部分と左下の部分と1点ずつ交わる.