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(反比例のグラフ)直角双曲線$\bm{y=\bunsuu kx}$のグラフを$\bm{x}$軸方向に$\bm{p}$,\ \ $\bm{y}$軸方向に$\bm{q}$平行移動したグラフ}} \\[.2zh]    漸近線 $\bm{\textcolor{red}{x=p,\ \ y=q}}$      定義域 $\bm{x\neqq p}$  値域 1次分数関数$\bm{y=\bunsuu{ax+b}{cx+d}\ \ (c\neqq0,\ ad-bc\neqq0)}$のグラフ}} \\\\
\textbf{\textcolor{red}{$\bm{y=\bunsuu{k}{x-p}+q}$の形に変形できる}}ので,\ [2]と同じである. \\\\\\
\centerline{{\small $\left[\textcolor{BrickRed}{\begin{array}{l}
x軸方向にp,\ y軸方向にq平行移動は,\ \bm{数式でx\ →\ x-p,\ y\ →\ y-q\ とする}ことに対応する. \\[.4zh] y=\bunsuu kx\ を(p,\ q)平行移動した関数は,\ y-q=\bunsuu{k}{x-p},\ \ つまり\ y=\bunsuu{k}{x-p}+q\ である. \\\\
なぜc\neqq0,\ ad-bc\neqq0という条件がつくかを説明しておく. \\[.2zh] c=0のときy=\bunsuu{ax+b}{d}\ となるから,\ これは直線である(分数関数にならない). \\[1zh] また,\ y=\bunsuu{ax+b}{cx+d}\,は,\ 次のようにして\ y=\bunsuu{k}{x-p}+q\ の形に変形できる. \\[.8zh] ad-bc=0のとき,\ y=\bunsuu ac+\bunsuu{bc-ad}{c^2x+cd}=\bunsuu ac+0=\bunsuu ac\ (定数関数)となる(分数関数にならない).
関数$y=\bunsuu{4x-5}{2x-3}$のグラフを描き,\ 漸近線を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ (1)において,\ 定義域が$2<x\leqq4$のときの値域を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ (1)において,\ 値域が$1\leqq y<2$のときの定義域を求めよ. \\
\phantom{ (1)}\ \ よって,\ グラフは右図となる. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 漸近線 $\bm{x=\bunsuu32,\ \ y=2}$ \\\\[.5zh] (2)\ \ 値域は  $\bm{\bunsuu{11}{5}\leqq y<3}$ \\\\
(3)\ \ 定義域は $\bm{x\leqq 1}$ \\\\\\
まず,\ 漸近線がわかる\ y=\bunsuu{k}{x-p}+q\ の形に変形しなければならない. \\[.8zh] \bm{分母と同じ形を無理矢理分子に作り,\ つじつまを合わせる}のが簡潔である. \\[.2zh] つまり,\ 4xにするために2x-3を2倍し,\ -\,5にするために+1することになる. \\[.2zh] 4x-5=(2x-3)+(2x-2)とするのは意味がないので注意してほしい. \\[.2zh] (4x-5)\div(2x-3)を筆算すると商2,\ 余り1となることから,\ 4x-5=2(2x-3)+1\ ともできる. \\[.2zh] グラフは先に漸近線を描けばよい.\ また,\ 軸との交点をもつ場合,\ その座標も記入する. \\[.2zh] y軸との交点は元の式にx=0を代入,\ x軸との交点は元の式で(分子)=0とするとすぐにわかる. \\[1zh] 定義域・値域は,\ グラフを元に答える.\ \ 2<x\leqq4だからといって3<y\leqq\bunsuu{11}{5}\ としないように. \\[.6zh] y=\bunsuu{4x-5}{2x-3}=1のとき,\ 4x-5=2x-3よりx=1である.
(3)\ \ $\bunsuu1y=1-\bunsuu1x=\bunsuu{x-1}{x}$  $x=1$のとき,\ $\bunsuu1y=0$となり矛盾するから,\ $x\neqq1$である. \\[.5zh] (1)\ \ xの係数が負となるので,\ y=\bunsuu{k}{x-p}+q\ のk<0の場合である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 双曲線が左上と右下に存在することに注意して図示する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 軸との交点もきちんと確認していたならば,\ 間違うことはないだろう. \\[1zh] (2)\ \ 整数問題でよく見かけるaxy+bx+cy+d=0は,\ 実は1次分数関数である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 単純にy=の形に変形すればよいが,\ 2x+4で割るときは先に\neqq0を確認する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2x+4=0のときのxを元の式に代入することで容易に確認できる. \\[1zh] (3)\ \ 一旦分母をはらって整理してもよいが,\ \bunsuu1y=\ にしてから\bm{両辺の逆数をとる}のが速い. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ 分母も分子も\neqq0でなければならないことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{原点を除外する}必要がでてくる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分母をはらってy+x=xyとする場合,\ 条件x\neqq0,\ y\neqq0が加わることを忘れやすいので注意. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この条件がなければ,\ 両辺をxyで割って\,\bunsuu1x+\bunsuu1y=1\,に戻すことができなくなる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bunsuu1x+\bunsuu1y=1\ \Longleftrightarrow\ y+x=xy,\ x\neqq0,\ y\neqq0\ である.