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方程式$\bunsuu{2x-1}{x-2}=x+2$を解け. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 不等式$\bunsuu{2x-1}{x-2}\leqq x+2$を解け. \\
分数方程式と分数不等式}}
普通に分母をはらって解けばよいが,\ (分母)\neqq0という条件が加わることに注意する. \\[.2zh] 条件B\neqq0がなければ,\ A=BCの両辺をBで割って\ \bunsuu AB=C\ に戻す変形ができなくなる.
方程式はほぼ分母をはらうだけで済むが,\ 不等式になると一気に話がややこしくなる. \\[.2zh] 解法が4つ考えられ,\ それぞれにメリット・デメリットがある. \\\\
[1]\ \ \textbf{\textcolor{red}{グラフを図示し,\ 上下関係を考える.}} \\[.5zh] [2]\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{(分母)>0}$と$\bm{(分母)<0}$で場合分けをして分母をはらう.}} \\[.5zh] [3]\ \ \textbf{\textcolor{red}{分母の2乗を両辺に掛けて分母をはらう.}} \\[.5zh] [4]\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{=0}$の形にして,\ 各因数の正負を考える.}} \\\\\\グラフを図示する解法は,\ 視覚的にわかりやすいのが最大のメリットである. \\[.2zh] y=x+2とy=\bunsuu{2x-1}{x-2}\ のグラフを描く.\ このとき,\ (1)と同様にして交点も求める. \\[.2zh] 後は,\ y=x+2のグラフが\ y=\bunsuu{2x-1}{x-2}\ のグラフよりも上側にあるxの範囲を答えればよい. \\[.8zh] \bunsuu{ax+b}{cx+d}\ の形の分数関数(1次分数関数)でなければそもそも図示が困難という大きな欠点がある. \\[.8zh] ただし,\ この分野では1次分数関数しか学習しないので,\ これが標準解法である. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
分母x-2が正か負かで場合分けする.\ 負の場合,\ 分母をはらうときに不等号の向きが逆転する. \\[.2zh] (分母)\neqq0より,\ x=2のときを考慮する必要はない. \\[.2zh] 不等式を解いた後,\ 忘れずに場合分けの条件との共通範囲にする.\ 最後,\ 各場合を合わせて答える. \\[.2zh] 遠回りになるが,\ 確実性と汎用性が高い解法である.
のもとで\textcolor{red}{両辺に$(x-2)^2$を掛ける}と
\neqq0のもとで2乗は常に正であるから,\ 不等号の向きを気にせずに分母をはらうことができる. \\[.2zh] 3次不等式に帰着するが,\ 展開する必要はなく,\ 因数分解する方向で整理する. \\[.2zh] 不等式では,\ 余計なミスを防ぐため,\ 早い内に最高次の項の係数を正にしておくべきである. \\[.2zh] 後は,\ x=-\,1,\ 2,\ 3でx軸と交わる3次関数をイメージし,\ x軸の上側にあるxの範囲を答える. \\[1zh] 一般化すると \bm{\bunsuu AB>C\ \Longleftrightarrow\ AB>CB^2, \bunsuu AB\geqq C\ \Longleftrightarrow\ AB\geqq CB^2\ かつ\ B\neqq0} \\[.8zh] =を含む場合,\ (分母)\neqq0が条件として加わることに注意しなければならない. \\[.2zh] 両辺をBで割って\ \bunsuu AB\geqq C\ に戻せなくなるからである. \\[.8zh] AB>CB^2\,が成り立つならばB\neqq0であるから,\ この場合にはB\neqq0を加える必要はない. \\[1zh] 両辺に2乗を掛ける方法は,\ 場合分けせずに文字式を同値変形できる点では有用である. \\[.2zh] よって,\ 知る人ぞ知るテクニックとして推奨されることも多い. \\[.2zh] しかし,\ 分数不等式を解く場合に限ると,\ うまい方法とは言えない. \\[.2zh] 無駄に次数が高い不等式になる上,\ 最後に(分母)\neqq0を忘れてしまう可能性もある.
一方の辺に集め,\ 通分して因数分解する.\ 後は\bm{各因数x+1,\ x-3,\ x-2の正負を考えればよい.} \\[.2zh] この3つの因数が=0となるのは,\ x=-\,1,\ 2,\ 3である. \\[.2zh] そして,\ 各因数は=0となるところを境目にして正負が逆転する. \\[.2zh] これらのことを踏まえると,\ 全体の正負を容易に判断できる.\ 念のため表を作ると以下になる\ 何も表を作れと言っているわけではないので注意してほしい. \\[.2zh] 着目すべきは,\ \bm{\textcolor{blue}{=0となるxを境にして全体の正負が逆になる(+\,と-が交互になる)}}点である. \\[.2zh] =0のところで1つの因数の正負が逆になるのであるから,\ 全体の正負も逆になるのは当然である. \\[.2zh] つまり,\ \bm{どこか1つの範囲の正負がわかれば,\ 直ちに他の範囲の正負もわかる.} \\[.2zh] よって,\ \bm{正負の判断が容易なxの場合を1つだけ考えれば済む.}\ 極端に大きい値などがよいだろう. \\[.2zh] 例えばx=100のとき,\ 明らかに3つの因数は正であるから,\ x>3のとき全体も正であるとわかる. \\[.2zh] 同時に,\ 1つ飛び越えた-1<x<2のときも全体は正,\ それ以外の範囲では負であるとわかる. \\[.2zh] 後は,\ (分母)\neqq0にも注意して解答すればよい. \\[1zh] 非常に優れた解法であり,\ 応用性は高い. \\[.2zh] 先の別解のように,\ (x-2)^2\,を両辺に掛けて(x+1)(x-3)(x-2)\geqq0と変形することもできる. \\[.2zh] しかし,\ 本質的には各因数の正負を考ればよいだけなのであるから,\ その必要性はない. \\[.2zh] 高次関数のグラフを考える必要もないし,\ (分母)\neqq0を忘れる可能性も低くなるだろう. \\[1zh] この解法ならば,\ \bunsuu{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-4)(x-5)}\leqq0\ も容易に解ける.\ グラフの図示や変形の必要はない. \\[1zh] x=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5を境に正負が逆になる. \\[.2zh] また,\ x=100のとき(全体)>0となるから,\ 5<xのとき不等式を満たさない. \\[.2zh] よって,\ x\neqq4,\ x\neqq5も考慮すると,\ 解はx\leqq1,\ 2\leqq x\leqq3,\ 4<x<5である. \\[1zh] なお,\ \bm{2乗の因数は=0となるxを境にして正負が逆にならない}ので注意する必要がある. \\[.2zh] 例えば,\ \bunsuu{(x-1)(x-2)}{(x-3)^2}\geqq0\ ならばx=1,\ 2を境に正負が逆になる. \\[1zh] よって,\ x\neqq3も考慮するとx\leqq1,\ 2\leqq x<3,\ 3<x\ となる. \\[.2zh] もっとも,\ x\neqq3のもとで普通に両辺に(x-3)^2\,を掛けて(x-1)(x-2)\geqq0とできる.