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場合分けされた関数を合成しようとすると,\ \bm{2重の場合分けが必要}で,\ かなり複雑になる. \\[1zh] f(g(x))はf(x)のxにg(x)を代入した関数だが,\ \bm{場合分けのxにもg(x)を代入する}必要がある. \\[.2zh] g(x)の不等式ができるので,\ まずはそれを解いてxの不等式に変換しておく. \\[.2zh] ただし,\ g(x)も場合分けされているので,\ これを考慮して解くことになる. \\[.2zh] 場合分けして不等式を解いてもよいが,\ \bm{y=g(x)のグラフで図形的に考える}方がわかりやすい. \\[.2zh] グラフより,\ y=g(x)\geqq-\,2となるのはx\geqq-\,1のときであるとわかる.\ g(x)\leqq-\,2のときも同様. \\[.2zh] よって,\ x\geqq-\,1のときf(g(x))=g(x)となるが,\ g(x)はx\geqq0とx\leqq0で変わる. \\[.2zh] 結局,\ さらにx=0で場合分けして答えることになる.\ 一応,\ (f\circ g)(x)のグラフも示しておいた. \\[1zh] g(f(x))も同様であるが,\ f(x)\geqq0が2つの分割された範囲となる. \\[.2zh] さらに,\ f(x)がx=-\,2を境に変わるため,\ 結局4つに場合分けすることになる. \\[.2zh] 展開せずとも,\ (-\,2x-6)^2=\{-\,2(x+3)\}^2=4(x+3)^2\ としておけばよい.\ 頂点の座標もわかる.
絶対値は,\ 中身が0以上のときはそのまま,\ 0以下のときは-をつけてはずせる. \\[.2zh] 絶対値さえはずせば前問と同様にしてf(f(x))が求まるので,\ そのグラフを書けばよい. \\[1zh] 「f(f(a))=f(a)となるaを求めよ」は,\ \bm{「方程式f(f(x))=f(x)を解け」}ということである. \\[.2zh] 図形的には,\ \bm{y=f(f(x))のグラフとy=f(x)のグラフの共有点のx座標を求める}ことである. \\[.2zh] (0,\ 1),\ (1,\ 1)で共有点をもつことは明らかである. \\[.2zh] y=-\,2x+1とy=4x-1を連立するとx=\bunsuu13,\ y=2x-1とy=-\,4x+3を連立するとx=\bunsuu23 \\[1.5zh] 実は,\ 絶対値をはずすことなく数\text{I}の知識でもっと楽にグラフをかくことができる(別解1). \\[.2zh] \bm{全体に絶対値がついた関数のグラフは,\ x軸の下側にある部分を上側に折り返して図示できる.} \\[.2zh] 絶対値は,\ 負を正にするものだからである. \\[.2zh] つまり,\ y=2x-1のグラフのy\leqq0の部分を折り返したのがy=\zettaiti{2x-1}\,のグラフである. \\[.2zh] さらに,\ y方向に2倍拡大してy=2\,\zettaiti{2x-1},\,y方向に-1平行移動してy=2\,\zettaiti{2x-1}-1となる. \\[.2zh] 最後に,\ 再びy\leqq0の部分を折り返すとy=f(f(x))のグラフとなる. \\[1zh] 絶対値付き方程式f(f(x))=f(x)を同値変形で解くこともできる(別解2). \\[.2zh] まず,\ \bm{\zettaiti X=\zettaiti Y\ \Longleftrightarrow\ X=\pm\,Y}\ を適用する. \\[.2zh] 整理した後,\ \bm{\zettaiti X=Y\ \Longleftrightarrow\ X=\pm\,Y\ \ かつ\ \ Y\geqq0}\ を適用する.